Groupe d'isométries d'un tétraèdre régulier
Bonjour,
En vu de l'étude du groupe (isomorphe à $\mathfrak{S}_4$) d'isométries du tétraèdre régulier, je m'interroge en premier lieu sur l'existence d'un tel tétraèdre.
Dans l'espace affine $\mathbb{R}^3$, étant donnés 4 points $A,B,C$ et $D$ non coplanaires et à égale distance les uns des autres, le tétraèdre régulier $ABCD$ est l’enveloppe convexe de $\{A,B,C,D\}$.
Ladite existence revient à montrer l'existence de 4 tels points. Je n'y parviens guère.
Auriez-vous des indications à me donner ?
En vu de l'étude du groupe (isomorphe à $\mathfrak{S}_4$) d'isométries du tétraèdre régulier, je m'interroge en premier lieu sur l'existence d'un tel tétraèdre.
Dans l'espace affine $\mathbb{R}^3$, étant donnés 4 points $A,B,C$ et $D$ non coplanaires et à égale distance les uns des autres, le tétraèdre régulier $ABCD$ est l’enveloppe convexe de $\{A,B,C,D\}$.
Ladite existence revient à montrer l'existence de 4 tels points. Je n'y parviens guère.
Auriez-vous des indications à me donner ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je commence par un triangle équilatéral dans le plan (euclidien). J'en voudrais un avec des coordonnées explicites ...etc.. Of course, il y $j$ la racine cubique de l'unité, $2\pi/3$ et tout le truc mais je n'en veux pas. Je me place alors dans $\R^3$ avec sa base canonique et son produit scalaire standard et je considère les 3 points de coordonnées :
$$
\pmatrix {1 \cr 0 \cr 0}, \qquad \pmatrix {0 \cr 1 \cr 0}, \qquad \pmatrix {0 \cr 0 \cr 1}
$$
Ils sont équidistants, n'est ce pas ? Bon, eh bien, voilà un triangle équilatéral dans un plan euclidien, à savoir le plan affine $x + y + z = 1$.
Tu peux faire la même chose pour un tétraèdre régulier en passant dans $\R^4$.
Au cas où cela ne te conviendrait pas, prends, en restant dans $\R^3$, le cube standard avec ses 8 sommets $\pm e_1 \pm e_2 \pm e_3$ et localise les 4 sommets suivants :
$$
Q_1 = (-1,1,-1), \qquad Q_2 = (1,1,1), \qquad Q_3 = (1,-1,-1), \qquad Q_4 = (-1,-1,1)
$$
Autrement dit, dans un cube, il y a un tétraèdre régulier (et même deux).
Est-ce la même démo dans $\mathbb{R}^n$ ? Il me semble que oui. Y a t-il quelque chose de plus à dire ?
Que veux tu dire par ``Est ce la même démo dans $\R^n$'' ?
En tout cas, dans tout espace affine euclidien de dimension $n$, il y a $n+1$ points équidistants, cf la première partie de mon post où on passe en dimension $n+1$, la réalisation ayant lieu dans un hyperplan de cet espace de dimension $n+1$.
Et, en un certain sens, c'est ce que l'on peut faire de mieux : si $p_0, \cdots, p_n$ sont $n+1$ points équidistants d'un espace affine euclidien (i.e. pour un $r > 0$, on $d(p_i,p_j) = r$ pour tous $i \ne j$), alors $p_0, \cdots, p_n$ sont affinement indépendants, donc la dimension de l'espace affine dans lequel ils sont est $\ge n$.
$(1 \; 0 \; 0 \; 0)\quad(0 \; 1 \; 0 \; 0)\quad(0 \; 0 \; 1 \; 0)\quad(0 \; 0 \; 0 \; 1)$
sont évidemment 4 sommets d'un tétraèdre régulier,
situés dans l'hyperplan d'équation $x_1+x_2+x_3+x_4 = 1$
Pour les projeter orthogonalement sur l'hyperplan $H3$ d'équation $x_1+x_2+x_3+x_4 = 0$
on ajoute à chacun $\;-\frac{1}{4}(1 \; 1 \; 1 \; 1)$
ce qui donne $\frac{1}{4}(3 \; -1 \; -1 \; -1)$ etc.
Voici maintenant le miracle combinatoire. $H3$ a une base orthonormée
$\frac{1}{2}(1 \; 1 \; -1 \; -1)\quad\frac{1}{2}(1 \; -1 \; 1 \; -1)\quad\frac{1}{2}(1 \; -1 \; -1 \; 1)\quad$
D'où une matrice de passage et une translation (comme Ste Geneviève) du tétraèdre vers $\mathbb{R}^3$...
est évidemment celui des permutations de ses sommets,
isométrique donc à $S_4$.
Je prépare le terrain avec ton vecteur normal $N = (1,1, \cdots, 1)$ dans une base orthonormée de $E$ de dimension $n=7$ La projection $\pi : E \to \R.N$ : $v \mapsto {1\over \langle N\mid N\rangle} \langle N \mid v\rangle.N$. Il faut que je fasse gaffe au fait que Norm c'est le carré scalaire. Je me suis permis d'emprunter ton nom pour la projection sur l'orthogonal de $N$ i.e. $\text{Id}_E - \pi$ ainsi que pour les 7 vecteurs projetés :
[color=#000000] > GeorgesProjection := map < E -> E | v :-> v - pi(v) > ; > GeorgesVectors := GeorgesProjection(Basis(E)) ; > GeorgesVectors ; [ ( 6/7 -1/7 -1/7 -1/7 -1/7 -1/7 -1/7), (-1/7 6/7 -1/7 -1/7 -1/7 -1/7 -1/7), (-1/7 -1/7 6/7 -1/7 -1/7 -1/7 -1/7), (-1/7 -1/7 -1/7 6/7 -1/7 -1/7 -1/7), (-1/7 -1/7 -1/7 -1/7 6/7 -1/7 -1/7), (-1/7 -1/7 -1/7 -1/7 -1/7 6/7 -1/7), (-1/7 -1/7 -1/7 -1/7 -1/7 -1/7 6/7) ] [/color]Leur équidistance (attention Norm c'est le carré scalaire (bis)) : Au cas où on nous demanderait des coordonnées dans $F = \R.N^\perp$ de dimension $n-1 = 6$. J'ai pris pour base de $F$ les $f_i = e_{i+1} - e_{i}$ pour $1 \le i \le n-1$.[color=#000000] > e := Basis(E) ; > f := [e[j+1] - e[j] : j in [1..n-1]] ; > f ; [ (-1 1 0 0 0 0 0), ( 0 -1 1 0 0 0 0), ( 0 0 -1 1 0 0 0), ( 0 0 0 -1 1 0 0), ( 0 0 0 0 -1 1 0), ( 0 0 0 0 0 -1 1) ] [/color]Note : elle n'est pas orthornormée mais tant pis. Les coordonnées de tes 7 vecteurs dans cette base (fort possible que cela ne te fasse ni chaud ni froid) :[color=#000000] > F := VectorSpaceWithBasis(f) ; > C := [Coordinates(F,v) : v in GeorgesVectors] ; > C ; [ [ -6/7, -5/7, -4/7, -3/7, -2/7, -1/7 ], [ 1/7, -5/7, -4/7, -3/7, -2/7, -1/7 ], [ 1/7, 2/7, -4/7, -3/7, -2/7, -1/7 ], [ 1/7, 2/7, 3/7, -3/7, -2/7, -1/7 ], [ 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, -2/7, -1/7 ], [ 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, -1/7 ], [ 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 ] ] > GeorgesVectors eq [&+[c[j]*f[j] : j in [1..n-1]] : c in C] ; true [/color]A la fin, une petite vérification (une habitude).Voilà, voilà.