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Diagramme commutatif, base adaptée

Envoyé par Smab92 
Diagramme commutatif, base adaptée
il y a sept mois
Bonjour, j'ai travaillé aujourd'hui la preuve du théorème de la base adaptée pour les modules sur un anneau principal tiré d'un polycopié qui n'est malheureusement plus disponible sur internet (je l'ai photocopie il y a deux ans) et le professeur affirme ceci:

Soit M un A-module libre I un idéal de A alors si l'on dispose d'une application linéaire f: M-->A/I alors il existe une application linéaire g: M-->A
telle que f=pi o g avec pi la projection canonique de A vers A/I.

Je ne vois pas tres bien comment faire la preuve de cet enoncé, si quelqu'un pouvait m'aider ce serait super.
Re: Diagramme commutatif, base adaptée
il y a sept mois
$M$ est un module libre, comment définir des applications $M\to N$ en général ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Diagramme commutatif, base adaptée
il y a sept mois
Il s'agit simplement du fait qu'un $A$-module libre est projectif :

Si $(e_i)_{i \in I}$ est une base de $M$, on choisit un antécédent $\alpha_i$ dans $A$ pour chaque $f(e_i)$. Une application $g$ possible fait alors correspondre chaque $\alpha_i$ à chaque $e_i$.
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