Produit et det avec les matrices par blocs
Bonjour ,
j'ai une difficulté avec les exercices concernant les matrices par blocs, j'essaie donc de résoudre cet exercice mais je n'ai pas pu progresser, quelqu'un pourrait bien m'expliquer ?
Exercice. Soient $A , B \in M_{n}(k) $ où $k$ est un corps commutatif. On se propose de montrer que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique c-à-d $P_{AB} = P_{BA} $.
$\forall \lambda \in k $, soient $A_\lambda , B_\lambda$, les matrices par blocs de $M_{2n}(k)$ :
$A_\lambda = \begin{bmatrix}A & \lambda I_{n} \\I_{n} & 0_{n} \end{bmatrix}$ ; $B_\lambda = \begin{bmatrix}B & -\lambda I_{n} \\-I_{n} & A \end{bmatrix}$ où $I_{n}$ est la matrice identité d'ordre $n$ et $0_{n}$ est la matrice nulle carré d'ordre $n $.
1) Calculer $A_\lambda B_\lambda$ et $B_\lambda A_\lambda$.
2) Calculer $\det(A_\lambda B_\lambda)$ et $\det(B_\lambda A_\lambda)$ et en déduire que $P_{AB} = P_{BA}$.
Merci d'avance pour votre aide.
j'ai une difficulté avec les exercices concernant les matrices par blocs, j'essaie donc de résoudre cet exercice mais je n'ai pas pu progresser, quelqu'un pourrait bien m'expliquer ?
Exercice. Soient $A , B \in M_{n}(k) $ où $k$ est un corps commutatif. On se propose de montrer que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique c-à-d $P_{AB} = P_{BA} $.
$\forall \lambda \in k $, soient $A_\lambda , B_\lambda$, les matrices par blocs de $M_{2n}(k)$ :
$A_\lambda = \begin{bmatrix}A & \lambda I_{n} \\I_{n} & 0_{n} \end{bmatrix}$ ; $B_\lambda = \begin{bmatrix}B & -\lambda I_{n} \\-I_{n} & A \end{bmatrix}$ où $I_{n}$ est la matrice identité d'ordre $n$ et $0_{n}$ est la matrice nulle carré d'ordre $n $.
1) Calculer $A_\lambda B_\lambda$ et $B_\lambda A_\lambda$.
2) Calculer $\det(A_\lambda B_\lambda)$ et $\det(B_\lambda A_\lambda)$ et en déduire que $P_{AB} = P_{BA}$.
Merci d'avance pour votre aide.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
je ne trouve pas vraiment de cours bien expliqué sur cette notion, mais le produit se fait comme pour les matrices simples ?
[Inutile de recopier le dernier message. AD]
Par contre il est faux que $$\det\begin{pmatrix} A&B\\C&D \end{pmatrix} = \det(A)\det(D) - \det(B) \det(C)$$ en général.
AB - \lambda I_n & - \lambda A + \lambda A\\
B & - \lambda I_{n}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
AB - \lambda I_n & 0_n\\
B & - \lambda I_{n}
\end{pmatrix} $ est ce correcte ?
$$\det(AB-\lambda I_n)(-\lambda)^n=\det(BA-\lambda I_n)(-\lambda)^n$$