Matrice avec ligne ou colonne nulle

liberty · September 2018

Bonjour à tous
besoin de votre aide pour démontrer que :

Si A a une ligne nulle, alors AB a une ligne a une ligne nulle
et
Si B a une colonne nulle, alors AB a une colonne nulle, A et B étant des matrices
Merci à vous.

gerard0 · September 2018

Bonjour.

Il suffit d'appliquer la définition du produit de matrice à partir des composantes. Il n'y a qu'à rédiger ... Comment traduis-tu sur $A=[a_{ij}]$ le fait que la ligne $i_0$ est nulle ?

Bon travail !

Math Coss · September 2018

Pour visualiser la chose, il peut être utile de faire un calcul lorsque $A$ et $B$ sont de taille $2\times2$.

liberty · September 2018

Merci gerard pour votre aide, je comprends très bien votre raisonnement, mais j'avais une autre approche, dites-moi si c'est juste.

Si la dimension de A est mxp et B a la dimension pxn alors AB a la dimension mxn

Comme m est le nombre de lignes de A, et si A possède une ligne nulle alors AB aura aussi une ligne nulle.

Poirot · September 2018

Ce n'est pas un raisonnement, tu viens juste de répéter l'énoncé que tu cherches à montrer !

Math Coss · September 2018

Il n'y a rien de faux mais il n'y a pas de preuve pour autant.

J'insiste sur la nécessité de « voir » $:\$ [\xymatrix@C-2.5em@R-2.5em{&{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&b_{14}\\
b_{21}&b_{22}&b_{23}&b_{24}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}&b_{34}\end{pmatrix}}\\
{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&0&0\end{pmatrix}}&
{\begin{pmatrix}\hspace{.3em}*\hspace{.3em}&\hspace{.3em}*\hspace{.3em}&\hspace{.3em}*\hspace{.3em}&\hspace{.3em}*\hspace{.3em}\\0&0&0&0\end{pmatrix}}&.
}\]

Matrice avec ligne ou colonne nulle

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