Produit tensoriel

Pour la première question, tu pourrais commencer par construire un morphisme $A\to A/I\otimes A/J$ et vérifier qu'il est surjectif et que son noyau contient $I+J$, ce qui donne une surjection $A/(I+J)\to A/I\otimes A/J$. Par ailleurs, on a deux applications $p:A/I\to A/(I+J)$ et $q:A/J\to A/(I+J)$. L'application $A/I\times A/J\to A/(I+J)$, $(a,b)\mapsto p(a)q(b)$ est bilinéaire donc elle induit une application $A/I\otimes A/J\to A/(I+J)$ : montre qu'elle est surjective.

Problème : ce $f$ n'est pas un morphisme de $A$-modules. En effet, $f(a+b)$ n'est pas égal à $f(a)+f(b)$ en général car il traîne des termes comme $a\otimes b+b\otimes a$. Ça ne va pas.

On voit bien que $f$ doit envoyer $1$ sur $(1+I)\otimes(1+J)$ et donc, par linéarité, $f(a)=af(1)=a(1+I)\otimes(1+J)=(a+I)\otimes(1+J)=(1+I)\otimes(a+J)$. (Qu'est-ce qui justifie ces égalités au fait ?)

Pour montrer la surjectivité de $f$, c'est très facile si on s'aperçoit qu'un élément de $A/I\otimes A/J$ est une somme d'éléments de la forme $(a+I)\otimes(b+J)=a(1+I)\otimes b(1+J)=ab(1+I)\otimes(1+J)$ : pourquoi ces égalités au fait ? N'est-il pas évident que ceci est dans l'image de $f$ ?

Pour montrer la surjectivité de $g$, il suffit de constater que $A/(I+J)$ est engendré par $1+I+J$ et de lui chercher un antécédent.