Sens de la somme directe de modules

Hello,

pour moi, on peut parler de la somme directe de sous-modules sans que cela implique qu'elle soit égale au module entier :

Soit $M$ un module et $(M_i)_{i\in I}$ des sous-modules de $M$.

La somme $S=\sum_{i\in I} M_i$ est un sous-module de $M$ : ce sont les éléments de $M$ qui possède une écriture de la forme bla bla. La somme est dite directe si une telle écriture est unique.
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Petit baratin. À partir de n'importe quelle famille de modules $(M_i)_{i\in I}$, on peut former la « somme directe extérieure » $S=\bigoplus_{i\in I}M_i$ formé des fonctions $f:I\to\bigcup_{i\in I}M_i$ à support fini, comme l'a définie Poirot.

Par ailleurs, si chaque $M_i$ est un sous-module d'un module donné $M$, on peut calculer la somme des $M_i$, notée $\sum_{i\in I}M_i$. C'est un nouveau sous-module de $M$ composé des sommes de la forme $\sum_{i\in J}m_j$ où $J$ est une partie finie de $I$ et $m_i\in M_i$ pour tout $i\in J$. Par construction de la somme directe extérieure, on dispose d'un morphisme $\phi:\bigoplus_{i\in I}M_i\longrightarrow\sum_{i\in I}M_i$ : il envoie un élément $f$ de la somme directe sur $\sum_{i\in I}f(i)$ (cette somme est finie malgré les apparences).

Dans ces conditions, on peut par ailleurs décider si les $M_i$ sont « en somme directe » (c'est défini comme tu l'as fait). Si c'est le cas, l'application $\phi$ est un isomorphisme. On a donc dans le module ambiant $M$ un sous-module qu'il est raisonnable d'appeler « somme directe intérieure » et qui est isomorphe à la « somme directe extérieure ».

Fait-on la différence entre les deux ? Comme tu l'as constaté, pas vraiment – personne ou presque n'en parle dans les livres. Et il y a une bonne raison à ça : si les $M_i$ sont en somme directe, les deux sont isomorphes par un isomorphisme naturel (on n'a pas eu besoin de faire le moindre choix pour le construire).


Peux-être que tu reconnais une situation analogue à celle du produit semi-direct de deux groupes. Quand on a deux groupes $H$ et $K$ et une action de $H$ sur $K$ ou, ce qui revient au même, un morphisme $\psi:H\to\mathrm{Aut}(K)$, on peut former le produit semi-direct « extérieur » $K\rtimes H$ : c'est l'ensemble des couples $(k,h)$ formés d'un élément de $K$ et d'un élément de $H$ ; le produit est défini par : \[(k,h)(k',h')=\bigl(k\psi_h(k'),\,hh'\bigr)\qquad(h,h'\in H,\ k,k'\in K).\] À présent, si $G$ est un groupe, si $H$ et $K$ sont deux sous-groupes de $G$ tels que $H\cap K=\{e\}$, $K$ est normal et $KH=G$ (où $KH=\{kh,\ k\in K,\ h\in H\}$, alors $G$ est naturellement isomorphe au produit semi-direct « extérieur » associé à $\psi:H\to\mathrm{Aut}(K)$, $h\mapsto hkh^{-1}$ via l'isomorphisme $\phi:K\rtimes H\to G$, $(k,h)\mapsto kh$. Ainsi, le « produit semi-direct extérieur » est réalisé « à l'intérieur » du groupe $G$.