Exponentielle et matrice
Soit une matrice carrée d'ordre 4 à coefficients réels, $M = \begin{pmatrix}
0 &-2 & 4 &-2 \\
1 &1 &-2 &-1 \\
0 &0 &0 &0 \\
1 &-1 &2 &-3
\end{pmatrix} $
1) a) calculer $M^{2}$ et $M^{3}$
b) Vérifier que $M^{3} = -2M^2$ puis exprimer $M^{n}$ en fonction de n et $M^{2}$ , $\forall n \geq 2$ .
2) Calculer $e^M$ en fonction de $I_4$, $M$ et $M_2$.
1) a) On trouve , $M^2 = \begin{pmatrix}
-4 &0 & 0 &8 \\
0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 \\
-4 &0 &0 &8
\end{pmatrix} ,\qquad
M^3 = \begin{pmatrix}
8 &0 & 0 &-16 \\
0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 \\
8 &0 &0 &-16
\end{pmatrix} $
b) Pas de problème et $M^n = 2^{n-2}M^2$
2) Pour l'instant je bloque au niveau de la question 2). Je ne vois pas comment calculer $e^M$
SVP quelqu'un peut m'aider ?
0 &-2 & 4 &-2 \\
1 &1 &-2 &-1 \\
0 &0 &0 &0 \\
1 &-1 &2 &-3
\end{pmatrix} $
1) a) calculer $M^{2}$ et $M^{3}$
b) Vérifier que $M^{3} = -2M^2$ puis exprimer $M^{n}$ en fonction de n et $M^{2}$ , $\forall n \geq 2$ .
2) Calculer $e^M$ en fonction de $I_4$, $M$ et $M_2$.
1) a) On trouve , $M^2 = \begin{pmatrix}
-4 &0 & 0 &8 \\
0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 \\
-4 &0 &0 &8
\end{pmatrix} ,\qquad
M^3 = \begin{pmatrix}
8 &0 & 0 &-16 \\
0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 \\
8 &0 &0 &-16
\end{pmatrix} $
b) Pas de problème et $M^n = 2^{n-2}M^2$
2) Pour l'instant je bloque au niveau de la question 2). Je ne vois pas comment calculer $e^M$
SVP quelqu'un peut m'aider ?
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Réponses
$e^M = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n}M^n $ ou j'ai vu sur le net $e^M = Pe^{D}P^-1$
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Et bien maintenant tu as tout pour conclure.
La deuxième égalité vient certainement de quelqu'un qui a considéré que $M$ était diagonalisable en $D$.
Et la définition de l'exponentielle matricielle montre que quand la matrice est diagonale, son exponentielle est facile à déterminer.
-- Schnoebelen, Philippe
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
mais comment calculer avec cette somme et le factoriel ?
Allez !
Essaye d'additionner ces premiers termes.
Edit : suppression d'un symbole "+" dans l'expression $\LaTeX$.
Après on me demande de calculer le polynôme minimal et les valeurs propres, je me demande si ça pourrait bien me servir dans la suite ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Tu demandes d'abord explicitement les coefficients de $e^M$.
J'ai donné une piste : est-ce que cela te convient ? As-tu trouvé ce que l'on te demandait ?
pas vraiment j'obtiens juste une autre matrice en faisant la somme des premiers termes or $e^M$ va à +l'infini
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Une piste. Soit la matrice à une ligne et une colonne $M=(m),m\in \R$ : $e^M$ existe-t-elle ? que vaut $e^M$ ?
je ne vois pas trop où ça mène
[large][Inutile de recopier le dernier message. AD][/large]
Ne recopie pas les messages, on sait lire. C’est parce que tu ne vois pas que je donne cette indication ! Cherche deux heures. Tu trouveras sûrement. Si tu ne trouves pas, tu ne sauras pas finir ton exercice.
Tu ne sembles pas lire les indications qui te sont données !
Combien de fois faudra-t-il que je te dise qu'il est inutile de reproduire le message précédent.
AD
PS : Ce n'est pas le calcul de la somme mais la formule $M^n = 2^{n-2}M^2$ qui est fausse. Pas loin d'être juste mais fausse.
Si tu penses qu'elle est juste, c'est que tu as oublié les conventions relatives aux priorités des opérations : $-2^0=-1$, $-2^1=-2$, $-2^2=-4$, etc.
EDIT : grillé par MC.