Exponentielle et matrice

dllkevin
dllkevin
dans Algèbre
Soit une matrice carrée d'ordre 4 à coefficients réels, $M = \begin{pmatrix}
0 &-2 & 4 &-2 \\
1 &1 &-2 &-1 \\
0 &0 &0 &0 \\
1 &-1 &2 &-3
\end{pmatrix} $
1) a) calculer $M^{2}$ et $M^{3}$
b) Vérifier que $M^{3} = -2M^2$ puis exprimer $M^{n}$ en fonction de n et $M^{2}$ , $\forall n \geq 2$ .
2) Calculer $e^M$ en fonction de $I_4$, $M$ et $M_2$.

1) a) On trouve , $M^2 = \begin{pmatrix}
-4 &0 & 0 &8 \\
0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 \\
-4 &0 &0 &8
\end{pmatrix} ,\qquad

M^3 = \begin{pmatrix}
8 &0 & 0 &-16 \\
0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 \\
8 &0 &0 &-16
\end{pmatrix} $
b) Pas de problème et $M^n = 2^{n-2}M^2$

2) Pour l'instant je bloque au niveau de la question 2). Je ne vois pas comment calculer $e^M$
SVP quelqu'un peut m'aider ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Quelle est la définition de $\exp(M)$ quand $M$ est une matrice carrée ? Le résultat de 1)b) te permettra de mener le calcul à bien.
  • dllkevin
    dllkevin
    Poirot
    $e^M = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n}M^n $ ou j'ai vu sur le net $e^M = Pe^{D}P^-1$

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Dom
    Dom
    Le dénominateur est plutôt $n!$.
    Et bien maintenant tu as tout pour conclure.

    La deuxième égalité vient certainement de quelqu'un qui a considéré que $M$ était diagonalisable en $D$.
    Et la définition de l'exponentielle matricielle montre que quand la matrice est diagonale, son exponentielle est facile à déterminer.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    La deuxième égalité est inutile puisque la définition de l’exponentielle suffit.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Poirot
    Poirot
    Et surtout elle n'a aucun sens si on ne dit pas qui sont $P$ et $D$. La vraie signification donnée par Dom sera inutile ici, la définition de l'exponentielle suffit à conclure.
  • dllkevin
    dllkevin
    dllkevin écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1713774,1713788#msg-1713788
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    mais comment calculer avec cette somme et le factoriel ?
  • Dom
    Dom
    Il suffit de calculer : $I+M+\frac{1}{2}M^2+\frac{1}{6}M^3+...$
    Allez !
    Essaye d'additionner ces premiers termes.

    Edit : suppression d'un symbole "+" dans l'expression $\LaTeX$.
  • dllkevin
    dllkevin
    Dom
    Après on me demande de calculer le polynôme minimal et les valeurs propres, je me demande si ça pourrait bien me servir dans la suite ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Dom
    Dom
    Et bien je ne sais pas.
    Tu demandes d'abord explicitement les coefficients de $e^M$.
    J'ai donné une piste : est-ce que cela te convient ? As-tu trouvé ce que l'on te demandait ?
  • dllkevin
    dllkevin
    Dom
    pas vraiment j'obtiens juste une autre matrice en faisant la somme des premiers termes or $e^M$ va à +l'infini

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Une piste. Soit la matrice à une ligne et une colonne $M=(m),m\in \R$ : $e^M$ existe-t-elle ? que vaut $e^M$ ?
  • dllkevin
    dllkevin
    YvesM
    je ne vois pas trop où ça mène :(

    [large][Inutile de recopier le dernier message. AD][/large]
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ne recopie pas les messages, on sait lire. C’est parce que tu ne vois pas que je donne cette indication ! Cherche deux heures. Tu trouveras sûrement. Si tu ne trouves pas, tu ne sauras pas finir ton exercice.
  • dllkevin
    dllkevin
    Mais je me demande si c'est possible de passer par la matrice diagonale parce que je ne comprends pas cette méthode.
  • AD
    AD
    dllkevin
    Tu ne sembles pas lire les indications qui te sont données !
    Combien de fois faudra-t-il que je te dise qu'il est inutile de reproduire le message précédent.
    AD
  • dllkevin
    dllkevin
    J'obtiens $e^M = 1 + M + M^2\sum\limits_{i = 2}^{\infty}\frac{2^{i-2}}{i!}$ et en résolvant cette série $e^M = 1 + M + \frac{e^{2}-3}{4} M^2$, c'est bien ça ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Ça ressemble beaucoup mais tu as une petite erreur sur le coefficient $\dfrac{\mathrm{e}^2-3}{4}$.

    PS : Ce n'est pas le calcul de la somme mais la formule $M^n = 2^{n-2}M^2$ qui est fausse. Pas loin d'être juste mais fausse.
  • dllkevin
    dllkevin
    je viens de m'en rendre compte que j'ai oublié le signe donc $M^n = -2^{n-2}M^2$
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu t'approches mais ça reste incorrect.
  • dllkevin
    dllkevin
    l'erreur est toujours sur $M^n$ ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Oui, oui. Regarde les coefficients en haut à gauche de $M^2$ et $M^3$ et constate qu'ils sont de signes opposés, ce qui n'est pas compatible avec l'écriture $-2^{n-2}M^2$.
  • dllkevin
    dllkevin
    IL avait demandé à la question 2) aussi de démontrer que $M^{3} = -2M^2$ donc j'ai déduis de là que $M^{3} = -2^{3-2}M^2$ d'ou $M^{n} = -2^{n-2}M^2$ ce qui est juste donc ça m’étonne pas d'avoir un tel résultat du moins pour $\forall n \in \mathbb{N}\geqslant 3$ , j'ai ver fié aussi en effectuant le produit des matrices en lignes ici
  • Math Coss
    Math Coss
    Par exemple, la formule $M^{n} = -2^{n-2}M^2$ est fausse pour $n=2$.

    Si tu penses qu'elle est juste, c'est que tu as oublié les conventions relatives aux priorités des opérations : $-2^0=-1$, $-2^1=-2$, $-2^2=-4$, etc.
  • dllkevin
    dllkevin
    $M^n = (-1)^{n} \times 2^{n-2}M^2 $ je crois que c'est okay maintenant et $e^M = I + M + M^2 \times \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n \times 2^n}{n!} $
  • Math Coss
    Math Coss
    Voilà ! Ou bien $\frac{(-2)^{n-2}}{n!}M^2$. Il n'y a plus qu'à conclure en modifiant un peu ton calcul de la somme.
  • dllkevin
    dllkevin
    est ce que je peux utiliser cette somme pour calculer le polynôme minimal et les valeurs caractéristiques ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Que veux-tu dire ? Polynôme minimal de qui ?
  • dllkevin
    dllkevin
    je demande si c'est question peut être liée à la détermination du polynôme minimal et les valeurs propres de M
  • Math Coss
    Math Coss
    Je ne vois pas comment la connaissance de l'exponentielle de $M$ peut aider à la détermination du polynôme caractéristique ou du polynôme minimal de $M$. À l'inverse, si on sait diagonaliser $M$, ça peut aider à calculer son exponentielle.
  • dllkevin
    dllkevin
    J'ai $M^3 + 2M^2 = 0 $ donc le polynôme minimal divise $X^3 + 2X$ et les valeurs propres sont donc 0 et -2, je pensais utiliser ça les valeurs sont correctes, qu'en dites-vous SVP ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Ça, oui, tu peux l'utiliser ! Attention quand même : tu dis que les valeurs propres sont $0$ et $-2$. En fait, la seule chose que tu peux affirmer a priori à partir de l'égalité $M^3+2M^2=0$, c'est que les valeurs propres appartiennent à $\{0,-2\}$. Si $M$ était la matrice nulle ou $-2\mathrm{id}$, on aurait aussi $M^3+M^2=0$ mais il n'y aurait qu'une seule valeur propre.
  • Poirot
    Poirot
    Attention, les valeurs propres sont a priori parmi $0$ et $-2$. Tu ne peux pas directement dire qu'elles le sont toutes juste parce $\pi(M)$ divise $X^3+2X^2$ (et non $X^3+2X^2$).

    EDIT : grillé par MC.
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