Structures isomorphes de modules

Bonjour,
Je bloque sur un exercice. Si $\varphi : A \rightarrow End_{\Z}(M)$ est un morphisme d'anneau, on peut munir $M$ d'une structure de de $A$-module en posant $a.x=\varphi (a)(x)$. Notons $M_{\varphi}$ le module obtenu. Voici l'exercice : montrer que $M_{\varphi} \simeq M_{\psi}$ si et seulement s'il existe $f\in GL_Z(M)$ tel que $\psi(a) = f \circ \varphi (a) \circ f^{-1}$ pour tout $a$ dans $A$.
Pour l'instant, je suppose l'existence d'un tel morphisme, et j'aimerais construire un isomorphisme. Celui qui me vient naturellement est l'identité sur $M$, mais il n'est pas linéaire. Auriez-vous des indications?
Merci.