Structures isomorphes de modules
dans Algèbre
Bonjour,
Je bloque sur un exercice. Si $\varphi : A \rightarrow End_{\Z}(M)$ est un morphisme d'anneau, on peut munir $M$ d'une structure de de $A$-module en posant $a.x=\varphi (a)(x)$. Notons $M_{\varphi}$ le module obtenu. Voici l'exercice : montrer que $M_{\varphi} \simeq M_{\psi}$ si et seulement s'il existe $f\in GL_Z(M)$ tel que $\psi(a) = f \circ \varphi (a) \circ f^{-1}$ pour tout $a$ dans $A$.
Pour l'instant, je suppose l'existence d'un tel morphisme, et j'aimerais construire un isomorphisme. Celui qui me vient naturellement est l'identité sur $M$, mais il n'est pas linéaire. Auriez-vous des indications?
Merci.
Je bloque sur un exercice. Si $\varphi : A \rightarrow End_{\Z}(M)$ est un morphisme d'anneau, on peut munir $M$ d'une structure de de $A$-module en posant $a.x=\varphi (a)(x)$. Notons $M_{\varphi}$ le module obtenu. Voici l'exercice : montrer que $M_{\varphi} \simeq M_{\psi}$ si et seulement s'il existe $f\in GL_Z(M)$ tel que $\psi(a) = f \circ \varphi (a) \circ f^{-1}$ pour tout $a$ dans $A$.
Pour l'instant, je suppose l'existence d'un tel morphisme, et j'aimerais construire un isomorphisme. Celui qui me vient naturellement est l'identité sur $M$, mais il n'est pas linéaire. Auriez-vous des indications?
Merci.
Réponses
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Un isomorphisme t'est donné : $f$. Et, à part l'identité, il n'y a que celui-la dans le paysage.
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Bon sang... Merci! En effet, il suffit de vérifier que $f$ est linéaire, et on a : \[ f\circ \varphi(a)(x) = f \circ \varphi(a) \circ f^{-1} \circ f (x) = \psi(a) \circ f(x) \]
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Bonjour!
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