Modules libres de type fini et morphismes
dans Algèbre
Bonjour
Je bloque encore sur un exercice. Soient $M,N$ deux $A$-modules libres de type fini, de rangs respectifs $n$ et $k$. Je dois montrer que $Hom_A(M,N)$ est libre de type fini. Pour l'instant, je me suis lancé dans des calculs, mais je n'arrive pas à trouver une base.
Soit $f\in Hom_A(M,N)$. $f$ est entièrement déterminée par les images des éléments d'une base de $M$, que je nomme $(e_i)_{1\leq i \leq n}$, et $f(e_i)=\sum_{j=1}^k a_{i,j} n_j$, où $(n_j)_{1\leq j \leq k}$ est une base de $N$. Je vois que la base que je cherche sera de cardinal $nk$, mais je ne vois pas trop ce qu'elle fait. C'est une sorte de double symbole de Kronecker qui doit sortir ? Je crois que j'ai l'idée mais je n'arrive pas à la formaliser.
Merci de votre aide.
Je bloque encore sur un exercice. Soient $M,N$ deux $A$-modules libres de type fini, de rangs respectifs $n$ et $k$. Je dois montrer que $Hom_A(M,N)$ est libre de type fini. Pour l'instant, je me suis lancé dans des calculs, mais je n'arrive pas à trouver une base.
Soit $f\in Hom_A(M,N)$. $f$ est entièrement déterminée par les images des éléments d'une base de $M$, que je nomme $(e_i)_{1\leq i \leq n}$, et $f(e_i)=\sum_{j=1}^k a_{i,j} n_j$, où $(n_j)_{1\leq j \leq k}$ est une base de $N$. Je vois que la base que je cherche sera de cardinal $nk$, mais je ne vois pas trop ce qu'elle fait. C'est une sorte de double symbole de Kronecker qui doit sortir ? Je crois que j'ai l'idée mais je n'arrive pas à la formaliser.
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Réponses
Note que si $A$ est un corps, tu connais la réponse depuis le L1...