Petit exercice sur un groupe fini
dans Algèbre
Bonsoir,
Je vous partage un exercice vu en cours cette semaine. Montrer qu'un groupe d'ordre 300 n'est pas simple.
Au plaisir de lire vos démonstrations!
Je vous partage un exercice vu en cours cette semaine. Montrer qu'un groupe d'ordre 300 n'est pas simple.
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Réponses
Il est amusant d'identifier les $p$-Sylow de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{F}_q)$ où $q$ est une puissance de $p$. Pour $n=2$ ou $3$ et $q$ petit ($2$, $3$, $4$, $5$, $7$, peut-être $9$), l'action de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{F}_q)$ (ou $\mathrm{SL}$ ou $\mathrm{PSL}$) sur ses Sylow donne des isomorphismes exceptionnels donc amusants. Par exemple : $\mathrm{PSL}_2(\mathbf{F}_4)\simeq \mathfrak{S}_5\simeq\mathrm{PGL}_2(\mathbf{F}_5)$.
Je me rappelle un truc amusant dans la classification des sous-groupes finis de $\mathrm{SO}_3(\R)$. In fine, pour un tel sous-groupe, les Sylow, ce sont souvent essentiellement les pôles, c'est-à-dire les points d'intersection de l'axe d'une des rotations du sous-groupe avec la sphère unité (ou des paires de pôles antipodaux). On commence par écrire l'équation aux classes pour l'action sur les pôles, ce qui donne une équation portant sur l'ordre du groupe et les classes de conjugaison. Après, il faut classer les groupes éventuels correspondant à chaque solution.
Bref, à la fin de l'histoire, on en est à chercher un sous-groupe d'ordre $60$. À cause de l'équation aux classes, son $2$-Sylow est nécessairement isomorphe à $(\Z/2\Z)^2$, si bien qu'il est formé des demi-tours d'axes orthogonaux – les axes d'un repère. En travaillant encore un peu, ça permet de trouver les coordonnées des sommets d'un dodécaèdre régulier.