Polynôme minimal, Fourier

Mister Da
Mister Da
dans Algèbre
Bonjour,
en notant $\mathcal{F}$ la transformation de Fourier convenablement normalisée et définie sur un espace fonctionnel qui va bien, on montre que $\mathcal{F}^4 = \operatorname{Id}$, c'est-à-dire que le polynôme $P(X) = X^4-1$ est annulateur. Pour prouver qu'il est minimal, y a-t-il une subtilité ou faut-il tester tous ses polynômes diviseurs ?

Je pensais pouvoir trouver une réponse sur internet mais j'ai du mal me débrouiller car à ma grande surprise je n'ai pas trouvé de renseignements sur ce point.
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Il suffit de montrer que $1, -1, i$ et $-i$ sont toutes valeurs propres, ce qui peut se faire avec des gaussiennes.
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    d'accord merci.
    En fait, je voulais justement montrer que $\pm1$ et $\pm\mathrm{i}$ étaient valeurs propres mais à la sauce algébrique en montrant que le polynôme était minimal (sans avoir à chercher explicitement les fonctions propres d'Hermite ou autres gaussiennes). Mais visiblement c'est bourrin :/

    Cordialement,
    Mister Da
  • Poirot
    Poirot
    Bah sinon tu montres que $\mathcal{F}^2$ n'est pas $\pm id$ en partant d'une fonction ni paire ni impaire.
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    Oh ! Mais pourquoi n'y ai-je pas pensé !!! Merci beaucoup c'est super.

    Cordialement,
    Mister Da
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