Un peu de trigo et second degré

Salut

Je propose une démonstration
Bon alors comme je l'ai dit, pour la démonstration il suffit de connaître uniquement que quelques petites relations trigonométriques et les équations du second degré et c'est tout ce dont on a besoin
c'est donc un exercice du niveau de la classe de seconde

démonstration

on démontre que lorsque $u=0$ alors $v$ est une racine de $v^2-nv-\dfrac {\pi}{4}$
lorsque $u=0$ alors $n\in \mathbb {Z}^*$ et $v=\dfrac {n+\sqrt {n^2+\pi}}{2}$
posons $v_i$ les racines de $v^2-nv-\dfrac {\pi}{4}$
$v_i=\dfrac {-\left(-n\right)\pm\sqrt {\left(-n\right)^2-4.\left( \dfrac {-\pi}{4}\right)}}{2}=\dfrac {n\pm\sqrt {n^2+\pi}}{2}$

on démontre que lorsque $u\neq 0$ et $n=0$ alors $v$ est une racine de $v^2-2v+\dfrac {\pi}{4}$
lorsque $u\neq 0$ et $n=0$ alors $v=\dfrac {2+u\sqrt {4-\pi}}{2}$
posons $v_i$ les racines de $v^2-2v+\dfrac {\pi}{4}$
$v_i=\dfrac {-\left(-2\right)\pm\sqrt {\left(-2\right)^2-4.\left( \dfrac {\pi}{4}\right)}}{2}=\dfrac {2\pm\sqrt {4-\pi}}{2}$

on démontre que lorsque $u\neq 0$ et $n\in \mathbb {N}^*$ alors $v$ est une racine de $v^2-\left(2+n\right).v+\dfrac {\pi}{4}$
lorsque $u\neq 0$ et $n\in \mathbb {N}^*$ alors $v=\dfrac {2+n+u\sqrt {\left(2+n\right)^2-\pi}}{2}$
posons $v_i$ les racines de $v^2-\left(2+n\right).v+\dfrac {\pi}{4}$
$v_i=\dfrac {-\left(-\left( 2+n\right)\right)\pm\sqrt {\left(-\left( 2+n\right)\right)^2-4.\left( \dfrac {\pi}{4}\right)}}{2}=\dfrac {2+n\pm\sqrt {\left( 2+n\right)^2-\pi}}{2}$

On démontre que lorsque $u=0$ alors $v-w\in \mathbb {Z}$
$v-w=v-\dfrac {\pi}{4v}=\dfrac {4v^2-\pi}{4v}$
$4v^2-\pi=4\left(v-w \right)v$
$4v^2-4\left(v-w \right)v-\pi=0$
$v^2-\left(v-w \right)v-\dfrac {\pi}{4}=0$
et on sait que lorsque $u=0$ alors $v$ est une racine de $v^2-nv-\dfrac {\pi}{4}$ avec $n\in \mathbb {Z}^*$ et on peut poser $n=v-w\in \mathbb {Z}$ car $\mathbb {Z}^*$ est une partie de $\mathbb {Z}$

On démontre que lorsque $u\neq 0$ alors $v+w\in \mathbb {Z}$
$v+w=v+\dfrac {\pi}{4v}=\dfrac {4v^2+\pi}{4v}$
$4v^2+\pi=4\left(v+w \right)v$
$4v^2-4\left(v+w \right)v+\pi=0$
$v^2-\left(v+w \right)v+\dfrac {\pi}{4}=0$
et on sait que lorsque $u\neq 0$ alors $n\in \mathbb {N}$ et $v$ est une racine de $v^2-\left(2+n\right).v+\dfrac {\pi}{4}$
et on peut poser $v$ est une racine de $v-kv+\dfrac {\pi}{4}$ avec $k=2+n=v+w$ et donc $k=v+w\in \mathbb {Z}$ car $\mathbb {N}$ est une partie de $\mathbb {Z}$

On démontre que $cos(2\pi v)-cos(2\pi w)=0$
selon la formule trigonométrique $cos(a)-cos(b)=-2sin\left(\dfrac {a+b}{2} \right)sin\left(\dfrac {a-b}{2} \right)$
$cos(2\pi v)-cos(2\pi w)=-2sin\left(\dfrac {2\pi v+2\pi w}{2} \right)sin\left(\dfrac {2\pi v-2\pi w}{2} \right)=-2sin\left(\pi\left(v+w \right) \right)sin\left(\pi\left(v-w \right) \right)$
et comme $\left(v+w\in \mathbb {Z}\right)\lor \left(v-w\in \mathbb {Z}\right)$ est vrai alors $\left(sin\left(\pi\left(v+w \right) \right)=0 \right)\lor \left(sin\left(\pi\left(v-w \right) \right)=0\right)$ est vrai
et donc $-2sin\left(\pi\left(v+w \right) \right)sin\left(\pi\left(v-w \right) \right)=0$

On démontre que $w.sin(2\pi w)-v.sin(2\pi v)\neq 0$
on sait que $cos(2\pi v)-cos(2\pi w)=0$ par conséquent $cos(2\pi w)=cos(2\pi v)$
si $w.sin(2\pi w)-v.sin(2\pi v)=0$ alors $w.sin(2\pi w)=v.sin(2\pi v)$ et donc dans ce cas on obtiendra $w^2.sin^2\left(2\pi w \right)=v^2.sin^2\left(2\pi v \right)$
comme on a la relation trigonométrique $cos^2(x)+sin^2(x)=1$ pour tout réel $x$ alors $w^2.\left( 1-cos^2\left(2\pi w \right)\right)=v^2.sin^2\left(2\pi v \right)$
comme $cos(2\pi w)=cos(2\pi v)$ alors $cos^2(2\pi w)=cos^2(2\pi v)$ et donc $w^2.\left( 1-cos^2\left(2\pi v \right)\right)=v^2.sin^2\left(2\pi v \right)$
et comme on a vu que $sin^2\left(2\pi v \right)=1-cos^2\left(2\pi v \right)$ alors $w^2.sin^2\left(2\pi v \right)=v^2.sin^2\left(2\pi v \right)$
$v^2.sin^2\left(2\pi v \right)-w^2.sin^2\left(2\pi v \right)=0$
$\left(v^2-w^2 \right)sin^2\left(2\pi v \right)=0$ alors on obtient $\left(w.sin(2\pi w)-v.sin(2\pi v)=0 \right)\Rightarrow \left( \left(v^2-w^2 \right)sin^2\left(2\pi v \right)=0\right)$ est vrai
$\left(w.sin(2\pi w)-v.sin(2\pi v)=0 \right)\Rightarrow \left( \left(v^2-w^2=0 \right)\lor \left(sin^2\left(2\pi v \right)=0\right)\right)$ est vrai

on démontre que $sin^2\left(2\pi v \right)\neq 0$
si $sin^2\left(2\pi v \right)= 0$ alors $2v\in \mathbb {Z}$
lorsque $u=0$ alors $2v=n+\sqrt {n^2+\pi}\notin \mathbb {Z} $ avec $n\in \mathbb {Z}^*$
lorsque $u\neq 0$ alors $2v=2+n+u\sqrt {\left(n+2 \right)^2-\pi}\notin \mathbb {Z} $ avec $n\in \mathbb {N}$

on démontre que $v^2-w^2\neq 0 $
$v^2-w^2=v^2-\left(\dfrac {\pi}{4v} \right)^2=v^2-\dfrac {\pi^2}{16v^2}$
si $v^2-w^2=0$ alors
$v^2-\dfrac {\pi^2}{16v^2}=0$
$\dfrac {16v^4-\pi^2}{16v^2}=0$
$16v^4-\pi^2=0$
$16v^4=\pi^2$
$4v^2=\pi$
lorsque $u=0$ alors $v=\dfrac {n+\sqrt {n^2+\pi}}{2}$
$4v^2=4.\dfrac {\left(n+\sqrt {n^2+\pi} \right)^2}{4}=\left(n+\sqrt {n^2+\pi} \right)^2$
mais $4v^2\neq \pi$ car $\left(n+\sqrt {n^2+\pi} \right)^2\neq \pi$ avec $n\in \mathbb {Z}^*$
lorsque $u\neq 0$ alors $v=\dfrac {2+n+u\sqrt {\left(2+n \right)^2-\pi}}{2}$
$4v^2=4.\dfrac {\left(2+n+u\sqrt {\left(2+n \right)^2-\pi} \right)^2}{4}=\left(2+n+u\sqrt {\left(2+n \right)^2-\pi} \right)^2$
mais $4v^2\neq \pi$ car $\left(2+n+u\sqrt {\left(2+n \right)^2-\pi} \right)^2 \neq \pi$ avec $n\in \mathbb {N}$

bah non seconde du lycée camarade EV

regarde bien camarade … tu vois?

mince une coquille sur la démo

j'ai corrigé à l'endroit où c'est écrit [edit] j'avais mis une égalité alors que c'est une inégalité que l'on démontre
bon à plus … ( je me sert de ces deux relations pour un truc en géométrie -évidemment je faisais de l'humour dans mon post précédent)
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