Structure algébrique

Pour la première question en rouge : tu dois savoir à quelle condition la classe d'un entier $a$ est inversible dans $\Z/n\Z$, non ? Il faut appliquer ce critère pour $n=6$, puis pour $n=13$.

Tu dois avoir dans ton cours une définition de corps contenant une liste de propriétés à vérifier : prends ton courage à deux mains et vérifie-les.

Deux façons de faire : 1) quand tu auras vérifié que c'est un corps, tu auras une formule pour déterminer l'inverse d'un élément $(x,y)$ : tu peux l'utiliser pour $(2,-6)$ et constater que le résultat est dans la liste (la flemme de mettre des barres partout...) ; 2) sinon, tu peux calculer les produits deux à deux et identifier quand tu trouves le neutre de la multiplication (je commence : $(2,-6)\bullet(3,-4)=(2\times3+5\times(-6)\times(-4),2\times(-4)-6\times3)=\cdots$).


La matrice $M$ devient très naturelle si, par analogie, tu penses aux nombres complexes de la façon suivante. On considère $\C$ comme un espace vectoriel sur le corps des réels : il admet pour base $(1,\mathrm{i})$ puisque tout complexe s'écrit sous la forme $\lambda +\lambda'\mathrm{i}$ pour un unique couple $(\lambda,\lambda')\in\R^2$.
À présent, étant donné un nombre complexe $z=a+\mathrm{i}b$, on associe l'application linéaire $m_z$ du $\R$-espace vectoriel $\C$ dans lui-même définie par $m_z(w)=zw$. (C'est clair que c'est linéaire : $z(\lambda w+\lambda'w')=\lambda zw+\lambda zw'$ si $\lambda,\lambda'\in\R$ et $w,w'\in\C$.) La matrice de $m_\mathrm{i}$ dans la base $(1,\mathrm{i})$ est $M=\left(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\right)$. Si $z=a+b\mathrm{i}$, avec $a$ et $b$ réel, la matrice de $m_z$ est $a\mathrm{I}_2+bM$.
En fait, on peut voir le corps $\C$ comme l'anneau des matrices $2\times2$ à coefficients réels de cette forme.
La clé, c'est que la matrice $M$ est une solution de l'équation $x^2+1=0$ – c'est-à-dire que $M^2+\mathrm{I}_2=0$.

Ici, ton professeur a choisi une équation qui n'a pas de racine dans $\Z/13\Z$, à savoir $x^2=5$ – au lieu de $x^2=-1$ dans le cas des complexes. Puis elle a construit une matrice $M$ solution de cette équation et elle a mimé la présentation précédente de $\C$.

Au passage, tu peux vérifier que l'élément $(0,1)$ de ce corps à $169$ éléments est une solution de $x^2=5$.