Équivalence et rédaction
Bonjour,
je suis en train de mettre au propre un calcul et je me suis retrouvé à définir ce que je pense être un automorphisme : $$s\colon \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\quad;\quad M\mapsto SM^T$$ où $M^T$ désigne la transposée de la matrice $M$ et $S$ est une matrice signature (que des $\pm1$ sur la diagonale et des zéros ailleurs, remarque : $S = S^T = S^{-1}$).
On a les résultats suivants : $s(M) = SM^T$, $\ s^2(M) = SMS$, $\ s^3(M) = M^TS$, $\ s^4(M) = M$. On remarque que $s^4 = \mathrm{Id}$ et que $s^3 = s^{-1}$.
Maintenant je voudrais faire la même chose en manipulant des classes d'équivalences de matrices similaires mais je ne sais pas écrire les choses. Pour l'instant je note $\sim$ l'équivalence. Ainsi, je dis que deux matrices sont équivalentes $M\sim N$ s'il existe une matrice $P$ inversible telle que $M = P^{-1}NP$ et je note $[M]$ la classe d'équivalence dont $M$ est un représentant. Comment puis-je écrire les choses proprement ? Voici ce que j'ai fait (je ne sais pas si j'ai bien mis les crochets au final) :$$\tilde{s}\colon(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\sim)\to(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\sim)\quad;\quad [M]\mapsto [SM^T].$$
Du coup, il viendrait $\tilde{s}^2([M]) = [SMS] = [S^{-1}MS] = [M]$. J'aimerais pouvoir écrire $\tilde{s}^2 = \tilde{\mathrm{Id}}$ et aussi $\tilde{s} = \tilde{s}^{-1}$.
Tant que j'y suis, j'aurais aimé savoir s'il y a une explication "profonde" sur le fait que le "quotientage" fasse fondre le polynôme annulateur $p(X) = X^4-1$ de $s$ (que je pense minimal) fonde sur le polynôme annulateur $\tilde{p}(X) = X^2-1$ de $\tilde{s}$.
Bref, je ne pense pas que mon bricolage soit fait dans les règles de l'art. Auriez-vous des conseils pour améliorer la formalisation ainsi que la rédaction ?
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
je suis en train de mettre au propre un calcul et je me suis retrouvé à définir ce que je pense être un automorphisme : $$s\colon \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\quad;\quad M\mapsto SM^T$$ où $M^T$ désigne la transposée de la matrice $M$ et $S$ est une matrice signature (que des $\pm1$ sur la diagonale et des zéros ailleurs, remarque : $S = S^T = S^{-1}$).
On a les résultats suivants : $s(M) = SM^T$, $\ s^2(M) = SMS$, $\ s^3(M) = M^TS$, $\ s^4(M) = M$. On remarque que $s^4 = \mathrm{Id}$ et que $s^3 = s^{-1}$.
Maintenant je voudrais faire la même chose en manipulant des classes d'équivalences de matrices similaires mais je ne sais pas écrire les choses. Pour l'instant je note $\sim$ l'équivalence. Ainsi, je dis que deux matrices sont équivalentes $M\sim N$ s'il existe une matrice $P$ inversible telle que $M = P^{-1}NP$ et je note $[M]$ la classe d'équivalence dont $M$ est un représentant. Comment puis-je écrire les choses proprement ? Voici ce que j'ai fait (je ne sais pas si j'ai bien mis les crochets au final) :$$\tilde{s}\colon(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\sim)\to(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\sim)\quad;\quad [M]\mapsto [SM^T].$$
Du coup, il viendrait $\tilde{s}^2([M]) = [SMS] = [S^{-1}MS] = [M]$. J'aimerais pouvoir écrire $\tilde{s}^2 = \tilde{\mathrm{Id}}$ et aussi $\tilde{s} = \tilde{s}^{-1}$.
Tant que j'y suis, j'aurais aimé savoir s'il y a une explication "profonde" sur le fait que le "quotientage" fasse fondre le polynôme annulateur $p(X) = X^4-1$ de $s$ (que je pense minimal) fonde sur le polynôme annulateur $\tilde{p}(X) = X^2-1$ de $\tilde{s}$.
Bref, je ne pense pas que mon bricolage soit fait dans les règles de l'art. Auriez-vous des conseils pour améliorer la formalisation ainsi que la rédaction ?
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
Réponses
-
Avant de définir $\tilde{s}$ comme ça, il faut s'assurer qu'il est bien défini, c'est-à-dire que si $N=PNP^{-1}$ alors $[s(M)]=[s(N)]$, ce qui est vrai mais mérite d'être montré.
Une fois cela fait, tu as bien montré que $\tilde{s}^2 = id$.
Pour la fonte, je ne sais pas, mais attention tu ne manipules plus un endomorphisme d'un espace vectoriel, donc il faut prendre des précautions à vouloir employer le même vocabulaire (polynôme annulateur...). -
Bonjour,
merci énormément pour tes conseils. Je patine sur le premier point. Si j'ai bien compris, on souhaite montrer que si $M = PNP^{-1}$ alors il existe une matrice $Q$ inversible telle que $s(M) = Qs(N)Q^{-1}$. C'est bien ça ?
Voici ce que j'arrive à dire : $$s(M) = s(PNP^{-1}) = SP^{-T}N^TP^T = SP^{-T}SSN^TP^T = \underbrace{SP^{-T}S}_{=Q}s(N)P^T$$ mais je n'arrive pas à faire apparaitre la quantité $Q^{-1} = SP^TS$ à droite.
Cordialement,
Mister Da -
Je suis allé trop vite dans mon calcul, ça ne marche pas en fait ! Donc ton $\tilde{s}$ n'est pas bien défini et tu peux t'arrêter là :-D
-
J'ai une récrimination concernant le vocabulaire. La tradition est pénible mais elle a imposé les termes « équivalentes » et « semblables » pour les relations définies de la façon suivante : deux matrices carrées $A$ et $B$ sont équivalentes (resp. semblables) s'il existe deux matrices inversibles $P$ et $Q$ de même taille que $A$ et $B$ telles que $A=PBQ$ (resp. $A=PBP^{-1}$).
Conséquemment, quand Mister Da dit « $A$ et $B$ sont équivalentes quand... » elles sont semblables, ce n'est pas incorrect, puisque que le mot a aussi le sens plus large d'être en relation par une relation d'équivalence, mais c'est un peu maladroit dans ce contexte.
En fait, je râle mais je pense qu'il en est pleinement conscient et que c'est la raison pour laquelle il a rappelé la définition.
(Est-ce que quelqu'un va râler parce que j'ai fait appel à une matrice inutile dans la définition de similitude ?)
Sinon, je confirme le diagnostic négatif de Poirot. Si
\[S=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix},\quad
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix},\quad P=\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
-1/2 & -1
\end{pmatrix},\]les valeurs propres de $SA^\mathsf{T}$ sont $1$ et $-2$ alors que les valeurs propres de $S(PAP^{-1})^{\mathsf{T}}$ sont $-1$ et $2$. -
Bonjour,
merci pour ton infirmation, je me serais enfoncé longtemps dans ce cul de sac. Bon émotionnellement c'est les montagnes russes mais je crois que je vais m'en sortir.
Je viens de me rendre compte que dans mon problème je pouvais contraindre les équivalences. Je replante le décors.
Je dis que deux matrices sont équivalentes $M\sim N$ s'il existe une matrice $D$ diagonale inversible telle que $M = DND^{-1}$. C'est bien une équivalence car on a bien la symétrie la réflexivité et la transitivité. Je note $[M]$ la classe d'équivalence dont $M$ est un représentant.
Maintenant que j'ai considérablement appauvri l'énoncé, les matrices $S$ et $D$ étant diagonales commutent. Ainsi
$s(M) = s(DND^{-1}) = SD^{-T}N^TD^T = D^{-T}SN^TD^T = D^{-T}s(N)D^T$, autrement dit si $[N] = [M]$ alors $[s(N)] = [s(M)]$ et donc $\tilde{s}$ est bien défini :
$$\tilde{s}\colon(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\sim)\to(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\sim)\quad;\quad [M]\mapsto [SM^T].$$
Du coup, on a bien $\tilde{s}^2([M]) = [SMS] = [S^{-1}MS] = [M]$ et on peut écrire des choses commes $\tilde{s}^2 = \tilde{\mathrm{Id}}$ et aussi comme $\tilde{s} = \tilde{s}^{-1}$.
Pour réagir à une des remarques de Poirot, $\tilde{s}$ est bien un morphisme mais comme $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\sim$ n'est pas un espace vectoriel je ne peux plus parler de polynôme annulateur est-ce bien ça ?
Cordialement,
Mister Da -
Euh, morphisme de quoi ?
-
re bonjour,
le temps d'écrire mon message (je suis lent) je n'ai pas vu le message de Math Coss.
Je suis tout à fait d'accord avec son constat et j'en suis conscient. La similitude est une relation d'équivalence. Mais du coup quand je considère deux matrices semblables, que dire dans ce contexte ? Qu'elles vérifient la relation d'équivalence (au lieu de dire qu'elle sont équivalentes) ?
Cordialement,
Mister Da -
re re bonjour,
décidément.... je suis vraiment lent.
En fait j'ai dit morphisme car j'ai vu une bestiole qui est linéaire et qui respecte les classes d'équivalences mais visiblement j'aurais mieux fait de me taire... Je n'ai pas réfléchi à la structure algébrique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\sim$.
En fait mon seul but dans la vie c'était d'obtenir une application avec $\pm1$ comme valeurs propres et comme $s$ avaient $\pm1$ mais aussi $\pm\mathrm{i}$ comme valeurs propres je souhaitais construire une nouvelle application $\tilde{s}$. Après je n'ai pas vraiment les idées très claires sur ma soupe et je suis un béotien en algèbre.
En tout cas mille mercis pour vos messages, ça m'aide énormément.
Cordialement,
Mister Da -
C'était un pinaillage en passant, ton message est très clair.
On peut parler de « classes de similitude » et définir que « deux matrices sont semblables s'il existe... », en complétant par une pirouette du genre : « la similitude est une relation d'équivalence qu'il faut distinguer de cette autre relation d'équivalence qu'est l'équivalence des matrices ».
Mais ça va bien comme ça. -
Bonjour,
merci pour votre aide. Je viens de me rendre compte qu'imposer la matrice de passage à être diagonale était inutilement fort, il suffit de supposer que cette matrice commute avec la matrice signature.
Voici une nouvelle rédaction que j'espère rigoureuse.
On considère l'automorphisme : $$s\colon \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\quad;\quad M\mapsto SM^T$$ où $M^T$ désigne la transposée de la matrice $M$ et $S$ est une matrice signature (que des $\pm1$ sur la diagonale et des zéros ailleurs, remarque : $S = S^T = S^{-1}$).
On a les résultats suivants : $s(M) = SM^T$, $\ s^2(M) = SMS$, $\ s^3(M) = M^TS$, $\ s^4(M) = M$. On remarque notamment que $s^4 = \mathrm{Id}$ et que $s^3 = s^{-1}$.
A partir de $s$, nous allons construire une application $\tilde{s}$ qui vérifie $\tilde{s}^2 = \tilde{\mathrm{Id}}$. Pour cela, deux matrices $M$ et $N$ seront dites équivalentes (noté $M\sim N$) s'il existe une matrice $P$ inversible commutant avec $S$ telle que $M = PNP^{-1}$. Ceci est bien une équivalence car on a bien la symétrie la réflexivité et la transitivité. On note $[M]$ la classe d'équivalence dont $M$ est un représentant.
Ainsi, $s(M) = s(PNP^{-1}) = SP^{-T}N^TP^T = P^{-T}SN^TP^T = P^{-T}s(N)P^T$, autrement dit si $[N] = [M]$ alors $[s(N)] = [s(M)]$ et donc l'application $\tilde{s}$ suivante est bien définie :
$$\tilde{s}\colon(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\sim)\to(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})/\sim)\quad;\quad [M]\mapsto [s(M)].$$
Du coup, on a bien $\tilde{s}^2([M]) = [SMS] = [S^{-1}MS] = [M]$ et on peut écrire des choses comme $\tilde{s}^2 = \tilde{\mathrm{Id}}$ et aussi comme $\tilde{s} = \tilde{s}^{-1}$.
Qu'en pensez-vous ?
Cordialement,
Mister Da -
On peut. Il reste une toute petite vérification qui se fait de tête : si $S$ et $P$ commutent, alors $P^{\mathsf{T}}$ et $S^{\mathsf{T}}$ commutent, c'est-à-dire que $S$ et $P^{\mathsf{T}}$ commutent.
Tiens, une situation plus classique où un élément d'ordre $4$ devient un élément d'ordre $2$ : si $S=\left(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}\right)$, c'est bien un élément d'ordre $4$ dans les matrices inversibles, mais l'homographie associée $h_S:z\mapsto \frac{0z+1}{-z+0}=-\frac1z$ est d'ordre $2$ seulement. De façon générale, les involutions de $\mathrm{PSL}_2(\C)$ sont les éléments d'ordre $4$ de $\mathrm{SL}_2(\C)$. -
Bonjour,
Effectivement je n'avais pas testé la commutativité de $S$ et $P^T$ mais comme tu le soulignes c'est direct.
Merci beaucoup à toi et à Poirot, c'est beaucoup plus clair. En l'état actuel des choses, a-t-on épuisé le sujet où reste-t-il des choses à dire ?
Par rapport à ton exemple, je m'étais amusé à étudier l'isomorphisme de groupe entre $GL_2(\mathbb{C})$ muni de la multiplication avec l'ensemble des transformées de Möbius muni de la composition (il y a d'ailleurs une discussion sur le forum à ce sujet) :
$$
\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right) \mapsto \left(z\mapsto
\frac{az+b}{cz+d}\right)
$$
mais je n'avais jamais réalisé le fait que tu mentionnes !
Cordialement,
Mister Da
Edit : correction de "isomorphisme", merci Math Coss -
Attention, ce n'est pas un isomorphisme de groupe puisqu'il a un noyau (d'ordre $2$ : aussi petit que possible pour être non trivial...).
On peut s'apercevoir de ce genre de choses par exemple quand on relève de $\mathrm{SO}_3(\R)$ à $\mathrm{SU}_2(\C)$ les groupes d'isométries (directes) des polyèdres réguliers. En effet, le morphisme classique $\mathrm{SU}_2(\C)\to\mathrm{SO}_3(\R)$ « est » le quotient par $\{\pm\mathrm{I}_2\}$, ce qui revient au même que restreindre à $\mathrm{SU}_2(\C)$ le morphisme de $\mathrm{GL}_2(\C)$ vers le groupe des homographies.
Il est intéressant de voir le lien entre $\mathrm{SO}_3(\R)$ et un groupe d'homographies, qui sont des bijections de la droite projective complexe : c'est la projection stéréographique évoquée encore hier par Pappus dans sa version réelle. -
Bonjour,
oui oui désolé, c'est mon clavier qui a mis "iso" devant morphisme (humm crédible ?). C'était justement le sujet de la discussion que j'avais eu sur le forum. Je viens de la retrouver : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1206999,1207097.
Merci pour la correction et vraiment désolé pour la coquille.
Cordialement,
Mister Da
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