Algèbre linéaire
Salut,
J'aimerais de l'aide pour démontrer l'exercice suivant.
Exercice.
Soit un monomorphisme canonique $j: E\rightarrow E^{**}$
Pour $x\in E$ , et $\alpha \in E^{*}$ , $j(x)(\alpha):=\,<x, \alpha>\,=\alpha(x)$
Montrer que si $\dim(E)$ est infini, alors $j$ n'est pas surjectif.
Merci d'avance.
J'aimerais de l'aide pour démontrer l'exercice suivant.
Exercice.
Soit un monomorphisme canonique $j: E\rightarrow E^{**}$
Pour $x\in E$ , et $\alpha \in E^{*}$ , $j(x)(\alpha):=\,<x, \alpha>\,=\alpha(x)$
Montrer que si $\dim(E)$ est infini, alors $j$ n'est pas surjectif.
Merci d'avance.
Réponses
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Si $\dim (E)$ est infini, $E$ est isomorphe à $k^{(I)}$ pour un $I$, et alors $E^*$ est isomorphe à $k^I$, qui est de dimension $> |I|$. Quelle est alors la dimension de $E^{**}$ ? peut-il être isomorphe à $E$ ?
(pour montrer que $\dim E^* > |I|$, faire le calcul suivant : $|k^I| \geq 2^{|I|}>|I|$, et $|E^*| = |\displaystyle\bigoplus_{b\in B} k$ où $B$ est une base de $E^*$, de sorte que $|E^*| = |B||k|$, dès lors que $B$ ou $k$ est infini : ici, $B$ est infinie.
Donc $|B||k| > |I|$.
Alors il suffit de montrer que ^$|B| \geq |k|$ pour conclure que $|B|>|I|$, soit $\dim E^* > \dim E$) -
Merci
pour l'aide. S'il vous plait quelle est la définiton de l'image de j? -
Bah $$\{f \in E^{**} \mid \exists x \in E, \forall \alpha \in E^*, f(\alpha) = \alpha(x)\}.$$
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Bonjour!
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