Algèbre linéaire

Si $\dim (E)$ est infini, $E$ est isomorphe à $k^{(I)}$ pour un $I$, et alors $E^*$ est isomorphe à $k^I$, qui est de dimension $> |I|$. Quelle est alors la dimension de $E^{**}$ ? peut-il être isomorphe à $E$ ?

(pour montrer que $\dim E^* > |I|$, faire le calcul suivant : $|k^I| \geq 2^{|I|}>|I|$, et $|E^*| = |\displaystyle\bigoplus_{b\in B} k$ où $B$ est une base de $E^*$, de sorte que $|E^*| = |B||k|$, dès lors que $B$ ou $k$ est infini : ici, $B$ est infinie.
Donc $|B||k| > |I|$.
Alors il suffit de montrer que ^$|B| \geq |k|$ pour conclure que $|B|>|I|$, soit $\dim E^* > \dim E$)

Bah $$\{f \in E^{**} \mid \exists x \in E, \forall \alpha \in E^*, f(\alpha) = \alpha(x)\}.$$