Représentation induite et groupoïdes

J'ai eu une réalisation soudaine en cours de représentations concernant la représentation induite, et je la partage donc avec vous : elle me semble montrer qu'une fois de plus, se restreindre aux groupes peut être pénalisant quand les groupoïdes nous cotoient. Ma réalisation concerne les représentations induites d'un groupe $G$ par des représentations d'un sous-groupe $H$: je me souviens la première fois que je les ai rencontrées ça m'enervait cette description assez peu attirante de l'action de $G$ sur les différents morceaux de l'induite, qui semblait si laide. En la revoyant avec le point de vue $\mathrm{Ind}_H^G = k[G]\otimes_{k[H]}-$ ça m'a un peu aidé, mais ce n'était toujours pas optimal. C'est en les revoyant en ayant entendu parler de groupoïdes que tout s'est clarifié; c'est de ça que je vous parle.

Je rappelle qu'un groupoïde est simplement une petite catégorie dans laquelle tous les morphismes sont des isomorphismes, et qu'il est dit connexe si tous ses objets sont isomorphes.
Quand un groupe $G$ agit sur un ensemble $X$, on a groupoïde associé $X\rtimes G$ qui contient toutes les informations de l'action : ses objets sont les éléments de $X$, et on a une flèche $(g,x)$ de $x$ vers $g\cdot x$ pour tout objet $x$ et élément $g\in G$, la composition étant $(h,y)\circ (g,x) = (hg, x) $.
Ce groupoïde est connexe si et seulement si l'action est transitive et pour un objet $x$, son groupe d'automorphismes est précisément $Stab(x)$, le stabilisateur. Bref.
En particulier, alors que du point de vue groupes on est tristes en voyant $G/H$ pour $H$ non distingué, du point de vue groupoïde on a $(G/H)\rtimes G$ qui est toujours un groupoïde pour l'action par permutation usuelle : on a un groupoïde qui se souvient de plus que juste les classes à gauche.

Je vais appeler ce groupoïde $B$ ($G,H$ sont fixés au long de ce que je raconte).
Pour un groupoïde $E$ fixé, on peut appeler représentation de $E$ un foncteur $E\to k-Vect$ ($k$ notre corps préféré - pour un groupoïde à un objet, aka un groupe, ça revient aux représentations usuelles).
Je prends donc $E=X\rtimes G$ pour une action de $G$ sur $X$, disons transitive pour que $E$ soit connexe, et $F$ une représentation de $E$. Je peux alors considérer un bel espace vectoriel $V=\displaystyle\bigoplus_{x\in X} F(x)$ sur lequel j'ai une belle action de $G$ gratuitement : $g\cdot (v,x) = (F(g,x)(v), g\cdot x)$ (j'ai noté $(v,x)$ le vecteur $v$ dans $F(x)$).
Ça c'est gratuit, c'est tout ce qu'il y a de plus fonctoriel, de plus canonique, de plus facile à trouver (faire un diagramme aide beaucoup à voir pourquoi c'est ça qu'il fallait considérer).

Bon bah maintenant si j'ai un $H$-représentation $W$, je peux en déduire une représentation $F$ de $B$ de la manière suivante : je choisis $g_1,...,g_k$ un système de représentants de $G/H$, $g_1=e$ disons, et je pose $F(g_iH) = W$, puis si $\alpha = (g, g_iH)$ est une flèche de $g_iH$ vers $g_jH$, je pose $F(\alpha)(v, g_iH) = (hv, g_jH)$ où $gg_i=g_jh$ (à nouveau, faire un dessin pour s'en rendre compte : on va de $g_i$ vers $g_j$ en utilisant $gg_i \sim g_j$, bah il faut twister par "la preuve que $gg_i\sim g_j$, c'est-à-dire $h$) , et bah ça ça fait la représentation induite quand on fait la somme comme juste au-dessus : et avec ce point de vue groupoïdique, tout est clair.

Ça me motive à dire la chose suivante (dont je n'ai pas plus d'exemples, mais j'imagine qu'il y en a ) : ce n'est parce qu'un groupoïde connexe est équivalent à un groupe, qu'étudier les représentations de groupoïdes revient à étudier celles de groupes.

Principe qui est analogue à la question groupe fondamental/groupoïde fondamental: le groupoïde fondamental et le groupe fondamental d'un espace connexe par arcs sont équivalents, pour autant étudier le groupoïde fondamental est bien plus simple et plus efficace. Voilà c'est un peu ce que je voulais partager, si vous avez des remarques, des questions, des raisons de me dire que je raconte n'importe quoi, n'hésitez pas.
Ah petite chose tout de même : on peut être déçu (je le suis) que cela repose tout de même sur un choix de représentants de $G/H$ : mais en un sens pour ce genre de descriptions, c'est inévitable. En effet en se référant par exemple à la construction produit tensoriel, on est ramené à définir des actions de genre $l\cdot (g\otimes v)$, où $g\otimes v$ représente plus ou moins le $v$ du $F(gH)$: seulement si on change de $g$ (en restant dans $gH$) on change le $v$ en question d'un facteur dans $H$.
Évidemment on repère automatiquement le lien avec le produit tensoriel et je ne prétends pas que c'est une "nouvelle construction de la représentation induite"; simplement je trouve que c'est une manière de voir plus agréable/intuitive. La réciprocité de Frobenius s'y voit bien à la main par exemple (alors qu'avec le produit tensoriel elle s'y voit bien par alignement de propriétés universelles)
J'espère que ça vous aura donné une idée ou deux; ou mieux encore que vous aurez plus à dire à ce sujet et que vous m'apprendrez des trucs