Enveloppe convexe d'applications de rang 1

P. · September 2018

Si $E$ et $F$ sont euclidiens de boules unité $B(E)$ et $B(F)$ on définit pour $\vec{a}\in F$ et $\vec{b}\in E$ l’élément $\vec{a}\otimes \vec{b}$ de $ L(E,F)$ par $$x\mapsto \vec{a}\otimes \vec{b}(\vec{x})=\vec{a}\langle \vec{b},\vec{x}\rangle_E.$$
Le conférencier du jour introduisait la partie $C$ de $L(E,F)$ égale à l'enveloppe convexe de l'ensemble $$\{\vec{a}\otimes \vec{b}\; \ ;\ \vec{a}\in B(F)\,\ \ \vec{b}\in B(E)\}$$ mais considérait comme un problème ouvert que de caractériser $C$. Ça m’étonne un peu.

Champ-Pot-Lion · September 2018

Comment prouver que l'identité n'est pas dans $C$ si la dimension est supérieure ou égale à $2$ ? (J'imagine qu'elle ne l'est pas.)

Si une application linéaire a la somme de ses valeurs singulières inférieure ou égale à $1$, alors elle est dans $C$. Tous les éléments de $C$ sont de norme d'opérateur inférieure ou égale à $1$.

marco · September 2018

$C$ ne contient pas l'identité si $\dim E=\dim F=n\geq 2$ car tout élément de $C$ est de trace inférieure ou égale à $1$.
On identifie $E$ et $F$.
De plus, pour tout élément $M$ de $C$, on a aussi pour tout $P,Q \in O(n,\R)$, $Tr(PMQ) \leq 1$.

Champ-Pot-Lion · September 2018

Du coup, ce que tu dis permet de caractériser $C$ lorsque $E=F$ : la condition nécessaire et suffisante étant que la somme des valeurs singulières est inférieure ou égale à $1$. On applique une décomposition en valeurs singulières, puis la condition sur la trace devient une équivalence.

Ça se généralise aussi lorsque $E \neq F$, en remplaçant $E$ par le complémentaire orthogonal du noyau de l'application et $F$ par l'image de l'application (on projette orthogonalement les $a$ et $b$ dessus).

P. · September 2018

Merci Champo. Ca tient la route, j'ai verifie pour $E=F$ et vais rediger pour $E\neq F.$

Enveloppe convexe d'applications de rang 1

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Bonjour!

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