Une équation fonctionnelle

Bonsoir,

$f(n)=n$ est solution évidente.
Tu peux essayer une récurrence pour voir ce que donnent $f(n)<n$ et $f(n)>n$.

Cordialement,

Rescassol

Montre que $f$ est injective sur $\mathbb{N}$ puis montre par récurrence sur $n\in \mathbb{N},$ $f(n)=n$
(en distinguant à chaque pas qui est le maximum entre $f(n)$ et $f\circ f(n).$)

L'injectivité se montre directement....
Regarde bien le contexte! Ton application est à valeurs dans $\mathbb{N}$.... Que penses-tu d'une somme nulle de nombre entiers naturels?
Dans l'hérédité (on procède par récurrence forte), si $f(k)=k$ pour tout $k\leq n$ (où $n$ est fixé) alors par injectivité, $f(n+1)\geq n+1$ et $f\circ f(n+1)\geq n+1$ (Pourquoi?). Il est alors aisé de conclure.