Produit

À gauche, tu as un produit de $n$ facteurs ; à droite, tu as une puissance $n$-ième. Cela devrait t'inciter à comparer le $k$-ième facteur de gauche à l'argument de la puissance, c'est-à-dire à montrer que $k(n+1-k)\le \Bigl(\dfrac{n+1}2\Bigr)^2$.

Edit : ajout du carré sans quoi l'inégalité est fausse.

Pour la suite décrivons cela simplement je le fais avec trois inégalités à toi d'adapter (là c'est pour toi) :

$q_1\leq c^2$, puis $q_2\leq c^2$ et $q_3\leq c^2$ alors $$q_1\times q_2\times q_3\leq c^2\times c^2\times c^2=c^{2\times 3}.$$

frinoug a écrit:

j'ai donc mon tableau de variation de $f(k)$, avec un maximum en $((n+1)/2)^2$

Tu as donc ton tableau de variations de $f$, avec un maximum de $\bigl(\frac{n+1}2\bigr)^2$ en $\frac{n+1}2$.

frinoug a écrit:

Si $P_n = \bigl[ k(n+1-k)\bigr]^n$ est vraie

Non, cette égalité n'est pas vraie. En fait, elle n'a pas de sens : qui est $k$ ?

Je pense que tu n'es pas au clair avec la définition de $P_n$ : c'est le produit de tous les facteurs $k(n+1-k)$ lorsque $k$ décrit $\{1,\dots,n\}$.

Tu n'as donc pas à « choisir l'intervalle des valeurs de $k$ », comme tu le disais ici : il t'est imposé, c'est l'ensemble des entiers compris entre $1$ et $n$. Tu n'as pas non plus à choisir « la valeur » de $k$ : $k$ doit prendre toutes les valeurs. Plus explicitement :\begin{align*}
P_1&=1(1+1-1)=1\\
P_2&=1(2+1-1)\times 2(2+1-2)=4\\
P_3 &=1(3+1-1)\times 2(3+1-2)\times 3(3+1-3)=36\\
P_4 &=1(4+1-1)\times 2(4+1-2)\times 3(4+1-3)\times4(4+1-4)=576\\
\text{etc.}
\end{align*}
La preuve pour $P_4$ doit ressembler à ça : tu as montré que pour $k$ entre $1$ et $4$, on a : $k(5-k)\le\bigl(\frac52\bigr)^2$. Autrement dit :\begin{align*}
1(4+1-1)&\le \Bigl(\frac52\Bigr)^2\\
2(4+1-2)&\le \Bigl(\frac52\Bigr)^2\\
3(4+1-3)&\le \Bigl(\frac52\Bigr)^2\\
4(4+1-4)&\le \Bigl(\frac52\Bigr)^2
\end{align*}d'où tu déduis par produit :
\[P_4\le \Bigl(\frac52\Bigr)^{2\times4}.\]
En plus, c'est correct : $576\le \bigl(\frac52\bigr)^8=1525.87890625$...

Voir ici.