Trois relations équivalentes

Piteux_gore · September 2018

Bonjour,

$a, b, c$ sont trois nombres deux à deux distincts et $x, y, z$ trois autres nombres.
Soient les trois relations
$(1)\ x(b - c) = y(c - a) = z(a - b)$
$(2)\ xy + yz + zx = 0$
$(3)\ ayz + bzx + cxy = 0 $
Je subodore que $(1)$ équivaut à $(2) + (3)$, mais pour l'instant j'ai seulement prouvé que $(1)$ implique $(2)$.

Ai-je raison de subodorer ?

A+

ptiteuclide · October 2018

Pour (1) implique (2) et (3), pose $t$ la valeur commune des termes de l'égalité (1).

La réciproque est fausse si $x=y=0$ et $z$ non nul par exemple. Supposons donc que les trois nombres $x$, $y$ et $z$ soient non nuls.(2) exprime que le triplet ($yz$, $zx$, $xy$) appartient à un certain plan de $\mathbb R^3$. (3) exprime que le même triplet appartient à un autre plan. Le triplet appartient à la droite intersection des deux plans. Détermine de quelle droite il s'agit et tu pourras conclure que (2) + (3) implique (1), sous l'hypothèse ajoutée.

Piteux_gore · October 2018

Merci,

j'avais oublié l'hypothèse de non-nullité pour $x, y, z$.

Trois relations équivalentes

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Bonjour!

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