Ensembles et différence symétrique

frinoug
frinoug
dans Algèbre
Bonsoir,
J'arrive à la fin de mon DM et je ne sais pas comment débuter la dernière question (e)

De manière triangulaire 3 démonstrations devraient suffire mais je n'arrive pas à en commencer une seule.

Pourriez-vous me guider ? (Ac = contraire de A)
J'ai juste trouvé :
Ac delta B = (Ac\B) u (B\Ac)

Merci d'avance.

Réponses

  • frinoug
    frinoug
    Je pense avoir réussi à démontrer
    Ac delta B = Bc delta A

    Pourriez vous me guider pour la dernière :

    Ac delta B = (Adelta B)c ?



    Merci d'avance
  • frinoug
    frinoug
    Bonjour,

    Pour démontrer Ac delta B = (Adelta B)c

    Est-il plus facile de commencer par le sens direct ou indirect ?
    Pourriez-vous me guider s'il vous plait ?

    Merci d'avance
  • Math Coss
    Math Coss
    C'est tout pareil. La figure peut t'aider à t'y retrouver.80496
  • Homo Topi
    Homo Topi
    En fait, il suffit de savoir trois choses :

    1) $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$
    2) $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
    3) $A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$

    Le point 3) étant la définition de la différence symétrique (c'est ça qui rend trivial la démonstration de $A \Delta B = B \Delta A$, puisque $A \cup B = B \cup A$ et $A \cap B = B \cap A$).
  • frinoug
    frinoug
    Bonjour,
    En effet, tout ça j'ai bien compris, je vois bien quel ensemble ça donne mais je ne sais pas comment débuter ma démonstration car je n'ai pas encore eu beaucoup l'occasion d'en faire.

    Ac delta B = (Adelta B)c

    dois-je débuter ainsi :

    soit x € Ac delta B
    donc si x € Ac alors x n'appartient pas à B
    et si x € b alors x n'appartient pas à Ac

    soit si x € Ac, x € Bc
    et si x € B, x € A

    soit x € (Ac inter Bc) u (A inter B)

    mais je ne vois pas comment retomber sur (Adelta B)c
  • frinoug
    frinoug
    Je ne sais pas comment rédiger le contraire d'un \ (privé de)
  • frinoug
    frinoug
    Si je comprends bien les schémas

    A\B = A inter Bc

    Mais dois-je le démontrer avant de m'en servir ?
  • frinoug
    frinoug
    Je pense donc avoir trouvé
  • Math Coss
    Math Coss
    D'un côté, $A\setminus B$ est l'ensemble des éléments qui sont dans $A$ mais pas dans $B$ ; de l'autre, $A\cap B^{\mathsf{c}}$ est l'ensemble des éléments qui sont dans $A$ et qui ne sont pas dans $B$. Je dirais volontiers qu'une fois définis l'intersection et le complémentaire, l'égalité $A\setminus B=A\cap B^{\mathsf{c}}$ est une définition de $A\setminus B$.
  • frinoug
    frinoug
    Merci beaucoup
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