Un problème de classification

Si je ne me trompe pas et si vous êtes d'accord une solution possible est la suivante :

Comme $G=K_{1}\times K_{2}$ et que $K_{1}$ et $K_{2}$ sont normaux minimaux dans $G$, alors $K_{1}$ et $K_{2}$ sont deux groupes indécomposables et caractéristiquement simples (ie. n'admettent pas de sous-groupes caractéristiques non-triviaux). Mais il est bien connu qu'un groupe fini $H$ est caractéristiquement simples si et seulement si
$$H\simeq T_{1}\times....\times T_{r},$$
où $T_{1},....,T_{r}$ sont tous isomorphe à un même groupe fini simple. Les groupes $K_{1}$ et $K_{2}$ étant indécomposable et caractéristiquement simples, alors nécessairement $K_{1}$ et $K_{2}$ sont simples. Par conséquent, $G$ est le produit direct de deux groupes simples.

Bonsoir Alain,

Prenons $G$ un groupe fini (non-simple), $K_{1}$ et $K_{2}$ deux sous-groupes normaux de $G$ tel que $G=K_{1}\times K_{2}$ (c'est-à-dire, $G$ est le produit direct interne de $K_{1}$ et $K_{2}$).

Montrons que si $K_{1}$ et $K_{2}$ sont deux sous-groupes normaux maximaux de $G$, alors $K_{1}$ et $K_{2}$ sont les deux des sous-groupes normaux minimaux de $G$.

Montrons le résultat pour $K_{1}$, c'est-à-dire on va montrer que $K_{1}$ est un sous-groupe normal minimal de $G$. Soit donc $H$ un sous-groupe normal de $G$ tel que $1\leqslant H\leqslant K_{1}$. Par absurde, supposons que $1<H<K_{1}$. Comme $H$ est contenu dans $K_{1}$, alors $H\cap K_{2}\subset K_{1}\cap K_{2}=\{1\}$ ce qui donne $H\cap K_{2}=\{1\}$. De plus, $H$ et $K_{2}$ sont normaux dans $G$, donc $HK_{2}=<H,K_{2}>$ est aussi normal dans $G$. Mais par hypothèse, $K_{2}$ est un sous-groupe normal maximal de $G$. Comme $K_{2}\leqslant HK_{2}$, alors par maximalité de $K_{2}$ on a $HK_{2}=K_{2}$ ou $HK_{2}=G$. Si $HK_{2}=K_{2}$, alors $H\subset K_{2}$. Or par hypothèse, $H\subset K_{1}$, alors $H\subset K_{1}\cap K_{2}=\{1\}$ ce qui donne $H=\{1\}$ : impossible car par hypothèse $H$ est non trivial. Par suite, on a nécessairement $HK_{2}=G$ et donc vu que $H\cap K_{2}=1$, alors $G=H\times K_{2}$.
Comme $H< K_{1}$, il existe $x\in K_{1}$ tel que $x\not\in H$. Le groupe $G$ étant produit direct interne de $H$ et $K_{2}$, alors $x=hk$ pour un ceratin $(h,k)\in H\times K_{2}$. Donc on a $h^{-1}x=k$, mais $h^{-1}x\in K_{1}$ et $k\in K_{2}$, alors $h^{-1}x\in K_{1}\cap K_{2}=\{1\}$ ce qui donne $h^{-1}x=1$, ou encore $x=h\in H$ : une contradiction. Par conséquant, $K_{1}$ est un sous-groupe normal minimal de $G$. Pour $K_{2}$ on refait la même chose et on obrient aussi que $K_{2}$ est un sous-groupe normal minimal de $G$.

La réponse est assez simple en fait et on n'a pas besoin de distinguer cas résoluble et cas non-résoluble. Merci Alain.