Une singulière matrice binomiale
Voici un résultat spectaculaire rencontré à l'occasion de recherches récentes sur des questions de réduction de Jordan.
Soit $n$ et $p$ deux entiers naturel non nuls, et $(u_1,u_2,\dots,u_p)$ et $(v_1,v_2,\dots,v_p)$ deux $p$-listes strictement croissantes d'entiers naturels.
On considère la matrice $M \in \mathrm{M}_p(\R)$ définie par
$$\forall (i,j)\in \{1,\dots,p\}^2, \quad m_{i,j}=\binom{n}{u_i-v_j}.$$
Montrer que $M$ est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls !
Soit $n$ et $p$ deux entiers naturel non nuls, et $(u_1,u_2,\dots,u_p)$ et $(v_1,v_2,\dots,v_p)$ deux $p$-listes strictement croissantes d'entiers naturels.
On considère la matrice $M \in \mathrm{M}_p(\R)$ définie par
$$\forall (i,j)\in \{1,\dots,p\}^2, \quad m_{i,j}=\binom{n}{u_i-v_j}.$$
Montrer que $M$ est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls !
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