Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
Fraction rationnelle
dans Algèbre
Bonjour,
Soit la fraction $(X^5 - 1)/(X^2 + 1)^2(X^3 + 1)^3$ ; on demande de la décomposer en somme de fractions ayant pour dénominateurs des puissances de $X^2 + 1$ ou de $X^3 + 1$.
Peut-on y arriver rapidement sans avoir à décomposer $X^3 + 1$ en $(X + 1)(X^2 - X + 1)$, etc. ?
A+
Soit la fraction $(X^5 - 1)/(X^2 + 1)^2(X^3 + 1)^3$ ; on demande de la décomposer en somme de fractions ayant pour dénominateurs des puissances de $X^2 + 1$ ou de $X^3 + 1$.
Peut-on y arriver rapidement sans avoir à décomposer $X^3 + 1$ en $(X + 1)(X^2 - X + 1)$, etc. ?
A+
Réponses
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Bonjour,
Est-ce que l'écriture $X^5-1 = X^5+X^3 - X^3-1 = X^3(X^2+1)-(X^3+1)$ peut être utile ? -
Peut-être en commençant par trouver une relation de Bézout entre $(X^2+1)^2$ et $(X^3+1)^3$ ?
Après pour les pôles multiples, y a aussi la division selon les puissances croissantes, mais il faut passer a priori par les complexes. Peut-être qu'on peut adapter l'idée avec des polynômes réels.
Je n'ai pas essayé.
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Bonjour!
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