Description d'une permutation

arthurserres · October 2018

Bonjour à tous, j'ai récemment démontré le théorème suivant: "Toute permutation différente de l'identité peut s'écrire de façon unique (à l'ordre près ) comme le produit de k-cycles tous distincts (k>1)"
Je pense avoir globalement compris la preuve de l'existence néanmoins je me casse la tête sur l'unicité. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer/ me proposer une preuve de celle ci?
Merci d'avance.

Math Coss · October 2018

Le théorème est suspect : voici deux décompositions différentes de la même permutation comme produit de $2$-cycles : \[(123)=(12)(23)=(23)(13).\]Il y a deux problèmes dans ton « théorème ». D'une part, la lettre $k$ n'est pas définie : veux-tu dire « produit de cycles » ? La différence, c'est que la longueur des cycles n'a pas de raison d'être la même pour chaque cycle de la décomposition. D'autre part, la contrainte « distincts » n'est pas assez forte. Je pense que tu as mal lu (ou mal transcrit).

arthurserres · October 2018

Au temps pour moi. En effet les cycles sont de longueurs à priori quelconques (>1). Quant à ma transcription elle est en effectivement erronée. Par distinct je voulais signifier disjoints.

Rubgo · October 2018

Comment as-tu construit les cycles? Via les orbites?

arthurserres · October 2018

Oui tout à fait j’ai écrit Nn comme une union disjointe d’orbites.

Rubgo · October 2018

Disons que ta permutation se décompose en k cycles à supports disjoints. Peux-tu trouver une décomposition en k' cycles à supports disjoints? Et y a-t-il un lien entre cycle et orbite?
Je pense que si tu réponds à ces questions, tu trouveras comment montrer l'unicité.

Poirot · October 2018

En fait la question à se poser est "quelles sont les orbites d'un produit de cycles à support disjoints ?" Une fois la réponse obtenue, il reste à montrer que si deux permutations ont les mêmes orbites (ordonnées) alors elles coïncident.

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