Groupes abélien finis

Light*
Light*
dans Algèbre
Bonjour à toutes et à tous,

Je me retrouve devant un groupe $G$ abélien d'ordre 36, et je ne sais pas comment faire pour le classer :
- $ G \simeq \mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ ?
- $G \simeq \mathbb{Z}/18\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ?
- $ G \simeq \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$?

Alors je sais qu'il n'est pas isomorphe au premier puisqu'il n'y a aucun élément d'ordre $36$. Puisque j'ai des éléments d'ordre $18$ (en l’occurrence $18$), est-il isomorphe au deuxième? Je pense que oui puisqu'il n'y a pas d'élément d'ordre $18$ dans le troisième ensemble. Mais cette méthode repose sur de la disjonction de cas, chose bien trop longue à faire si ce n'est pas $36$ mais $144$ par exemple...

D'où ma véritable question : comment faire en général? Il y a-t-il une autre astuce (sûrement complémentaire) que celle de compter l'ordre de chaque élément?

Je vous remercie de votre attention !

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ton raisonnement est correct. En général, la décomposition d'un groupe abélien fini en produit de groupes cycliques peut-être déterminée grâce au théorème des facteurs invariants : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_facteurs_invariants
  • chems
    chems
    Bonjour
    tu peux voir ce pdf, il y a un algorithme dans la page 23
    lien

    Bon courage
  • Light*
    Light*
    @ Poirot : Le théorème des facteurs invariants ce n'est pas l'artillerie lourde pour pas grand chose?

    @chems : l'algorithme dont tu parles dans ton pdf est la démonstration du Théorème 8 ou du Théorème 9?

    Merci en tout cas !
  • Math Coss
    Math Coss
    Quel est ton « vrai » problème ? Comment sont décrits les groupes que tu veux identifier ? Quelle taille typique font-ils ? Tu veux les traiter à la main ou avec un ordinateur ?
  • Light*
    Light*
    Merci Math Coss pour ton intérêt :)

    Mon "vrai" problème est que je me retrouve face à des groupes abélien finis d'ordre légèrement élevé et que c'est chi*nt de les classer :p mais je vais continuer de le faire à la main, je vais de plus en plus vite et cela me plaît finalement !

    J'aurais une autre question : comme construit-on $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty } (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times ... ?$$
  • Poirot
    Poirot
    La notation $\lim\limits_{n \rightarrow \infty } (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ n'a pas de sens. Si tu ne précises pas ce que tu entends par "limite", on ne peut pas t'aider. Il existe des notions de "limites" de groupes sous certaines conditions (par exemple des limites projectives ou inductives).

    Ici j'ai l'impression que tu cherches juste à définir le groupe $$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\mathbb N},$$ groupe des suites d'éléments de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
  • Light*
    Light*
    Ah pardon, je ne m'y connais absolument pas...

    Oui c'est cela que je veux dire !
  • Math Coss
    Math Coss
    Bon, si tu restes si vague, mon intérêt ne sert à rien. À vrai dire, je n'avais pas grand-chose en réserve si ce n'est la description informelle d'un algorithme pour écrire sous forme normale – c'est-à-dire $\Z/d_1\Z\times\cdots\times\Z/d_r\Z$ avec $1\ne d_r\mid d_{r-1}\mid\cdots\mid d_1$ – un groupe présenté sous forme $\Z/n_1\Z\times\cdots\Z/n_s\Z$ (quand on sait factoriser ces entiers).
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