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Morphisme d'algèbres et image du neutre

Envoyé par Germanium 
Morphisme d'algèbres et image du neutre
l’an passé
Bonjour,

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Pour démontrer qu'une application ayant pour ensembles de départ et d'arrivée des algèbres, j'ai appris qu'il faut montrer que l'application est linéaire, et qu'elle est un morphisme pour la troisième loi.

J'ai cependant remarqué dans certaines démonstrations que l'on prouve également que l'image du neutre est le neutre. Est-il nécessaire de démontrer cela pour prouver que l'application est un morphisme d'algèbres ? Si les deux algèbres sont unitaires, peut-il exister des morphismes d'algèbres tels que l'image du neutre ne soit pas le neutre ?

Bien cordialement,

Germanium



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Germanium.
Re: Morphisme d'algèbres et image du neutre
l’an passé
avatar
« Pour démontrer qu'une application ayant pour ensembles de départ et d'arrivée des algèbres, j'ai appris qu'il faut montrer que l'application est linéaire, et qu'elle est un morphisme pour la troisième loi. « 
Je n’ai pas compris cette phrase.
Re: Morphisme d'algèbres et image du neutre
l’an passé
Pense à \[\begin{array}{ccc}\R&\longrightarrow&\mathcal{M}_2(\R),\\x&\longmapsto&\begin{pmatrix}x&0\\0&0\end{pmatrix}.\end{array}\]
MrJ
Re: Morphisme d'algèbres et image du neutre
l’an passé
C'est un problème de convention. Est-ce qu'une algèbre contient nécessairement un élément neutre pour la multiplication interne d'après ton cours? Si oui, il est préférable d'imposer que l'image du neutre soit le neutre pour la multiplication (voir l'exemple ci-dessus de Math Coss).
Re: Morphisme d'algèbres et image du neutre
l’an passé
Amathoué écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------
Bonjour Amathoué,

Je vous prie de m'excuser pour ce manque de clarté. Une algèbre fait intervenir trois lois : deux de ces lois font de l'algèbre un K-ev (une loi interne et une loi externe), et il en existe en plus une troisième (interne). C'est de cette dernière que j'évoquais en parlant de "troisième loi".

Est-ce que cela répond à votre question, ou est-ce que le problème de compréhension était ailleurs ? Dans le second cas, n'hésitez pas à me l'indiquer.

Bien cordialement,
Germanium



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Morphisme d'algèbres et image du neutre
l’an passé
Un grand merci à vous pour vos explications, Math Coss et MrJ. L'exemple est effectivement très parlant.

Dans mon cours, il est dit explicitement qu'une algèbre ne comporte pas nécessairement d'élément neutre pour la multiplication interne. Cela doit être pour cela que la condition que l'image du neutre soit le neutre pour la multiplication n'est pas imposée.

Bien cordialement,

Germanium
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