Pivot de Gauss seulement avec transvections

Pour échelonner une matrice suivant les lignes, on n'a effectivement besoin que de multiplier à gauche par des matrices de transvection élémentaires. Autrement dit, le groupe $\mathrm{SL}_n(K)$ des matrices de déterminant $1$ est engendré par les matrices de transvection élémentaires.

Je parle en fait d'échelonner des matrices quelconques (pas forcément carrées). Et si on veut rendre diagonale (avec le sens que ça veut bien avoir) une matrice quelconque, on peut toujours se contenter de matrices de transvection élémentaires, mais cette fois-ci en multipliant à gauche et à droite.

Math Coss, tu n'es pas très économe en matrices de transvections élémentaires ! Ça se fait en trois mouvements :
1) $L_1\leftarrow L_1+L_2$
2) $L_2\leftarrow L_2-L_1$
3) $L_1\leftarrow L_1+L_2$

En utilisant uniquement des matrices de transvection, on peut quasiment arriver à une forme échelonnée réduite !

On peut multiplier une ligne par un coefficient $\lambda$ à condition de multiplier une autre ligne par $\frac 1 \lambda$. On peut le faire en 6 mouvements :

1) $L_1\leftarrow L_1-L_2$
2) $L_2\leftarrow L_2+L_1$
3) $L_1\leftarrow L_1-L_2$
4) $L_1\leftarrow L_1+ \lambda L_2$
5) $L_2\leftarrow L_2-\frac 1 \lambda 1_1$
6) $L_1\leftarrow L_1+ \lambda L_2$

Ce qui permet d'arriver à une matrice de cette forme là :

$\begin{pmatrix}
\lambda & * & 0 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

Si la matrice obtenue est carrée et ne contient pas de lignes nulles, elle alors est diagonale son déterminant est $\lambda$, qui est aussi le déterminant de la matrice de départ.

Finalement, les matrices de dilatation et de permutation c'est très surfait