Isomorphisme entre extensions de corps
Bonjour
Soit $\K$ un corps et $\alpha$ et $\beta$ deux éléments de $\bar{\K}$. Je veux montrer que si $\K(\alpha)$ et $\K(\beta)$ sont $\K$-isomorphes, alors $\alpha$ et $\beta$ ont même polynôme minimal et je n'y arrive pas. Je ne demande pas a priori que l'isomorphisme envoie $\alpha$ sur $\beta$. Si j'impose cette condition supplémentaire, je sais facilement montrer ce que je veux.
Voici comment je commence. Je note $P$ le polynôme minimal de $\alpha$ et $Q$ celui de $\beta$. Je sais déjà que $P$ et $Q$ ont même degré (sinon $\K(\alpha)$ et $\K(\beta)$ ne seraient pas $\K$-isomorphes). On note $n$ ce degré.
Soit $\phi: \K(\alpha)\to \K(\beta)$ un $\K$-isomorphisme. Soit $\gamma=\phi(\alpha)\in \K(\beta)$.
Alors $\gamma$ est un conjugué de $\alpha$ (ça se vérifie immédiatement).
Par ailleurs, il existe une famille $(a_j)_{0\leq j\leq n-1}$ telle que $\gamma=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\beta^j$. Donc si on note $R$ le polynôme $\sum_{j=0}^{n-1}a_jX^j$, alors, comme $\gamma=R(\beta)$, on a que $Q$ divise $P\circ R$. Mais je ne vois pas quoi en faire. Ce que je veux montrer, c'est que $Q$ divise $P$ !
Une autre idée que j'ai eue, mais qui ne semble guère plus fructueuse est que comme $\K(\gamma)$ est une extension de degré $n$ (car $\gamma$ a pour polynôme minimal $P$), contenue dans $\K(\beta)$ qui est aussi de degré $n$ on a $\K(\gamma)=\K(\beta)$.
Donc il existe une famille $(b_j)_{0\leq j\leq n-1}$ telle que $\beta=\sum_{j=0}^{n-1}b_j\gamma^j$.
D'où $$
\gamma=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\left(\sum_{i=0}^{n-1}b_i\gamma^i\right)^j
$$ mais je ne vois pas trop comment exploiter cette relation...
EdIT : Plus de seconde formulation, suite à la remarque de Math Coss. Une autre formulation de ma question est la suivante :
Soit $a$ un élément algébrique de degré $n$ sur $\K$. Soit $P$ le polynôme minimal de $a$. Soit $b\in \K(a)$ qui est aussi de degré $n$ sur $\K$. Comment montrer que $b$ annule $P$ ?
Soit $\K$ un corps et $\alpha$ et $\beta$ deux éléments de $\bar{\K}$. Je veux montrer que si $\K(\alpha)$ et $\K(\beta)$ sont $\K$-isomorphes, alors $\alpha$ et $\beta$ ont même polynôme minimal et je n'y arrive pas. Je ne demande pas a priori que l'isomorphisme envoie $\alpha$ sur $\beta$. Si j'impose cette condition supplémentaire, je sais facilement montrer ce que je veux.
Voici comment je commence. Je note $P$ le polynôme minimal de $\alpha$ et $Q$ celui de $\beta$. Je sais déjà que $P$ et $Q$ ont même degré (sinon $\K(\alpha)$ et $\K(\beta)$ ne seraient pas $\K$-isomorphes). On note $n$ ce degré.
Soit $\phi: \K(\alpha)\to \K(\beta)$ un $\K$-isomorphisme. Soit $\gamma=\phi(\alpha)\in \K(\beta)$.
Alors $\gamma$ est un conjugué de $\alpha$ (ça se vérifie immédiatement).
Par ailleurs, il existe une famille $(a_j)_{0\leq j\leq n-1}$ telle que $\gamma=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\beta^j$. Donc si on note $R$ le polynôme $\sum_{j=0}^{n-1}a_jX^j$, alors, comme $\gamma=R(\beta)$, on a que $Q$ divise $P\circ R$. Mais je ne vois pas quoi en faire. Ce que je veux montrer, c'est que $Q$ divise $P$ !
Une autre idée que j'ai eue, mais qui ne semble guère plus fructueuse est que comme $\K(\gamma)$ est une extension de degré $n$ (car $\gamma$ a pour polynôme minimal $P$), contenue dans $\K(\beta)$ qui est aussi de degré $n$ on a $\K(\gamma)=\K(\beta)$.
Donc il existe une famille $(b_j)_{0\leq j\leq n-1}$ telle que $\beta=\sum_{j=0}^{n-1}b_j\gamma^j$.
D'où $$
\gamma=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\left(\sum_{i=0}^{n-1}b_i\gamma^i\right)^j
$$ mais je ne vois pas trop comment exploiter cette relation...
EdIT : Plus de seconde formulation, suite à la remarque de Math Coss. Une autre formulation de ma question est la suivante :
Soit $a$ un élément algébrique de degré $n$ sur $\K$. Soit $P$ le polynôme minimal de $a$. Soit $b\in \K(a)$ qui est aussi de degré $n$ sur $\K$. Comment montrer que $b$ annule $P$ ?
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Réponses
Je tente une nouvelle formulation : Soit $\alpha$ et $\beta$ deux éléments algébriques de même degré tels que $\K(\alpha)\cap \K(\beta)=\K$. A-t-on : $\K(\alpha)$ et $\K(\beta)$ isomorphes si et seulement si $\alpha$ et $\beta$ sont conjugués ?
EDIT : Ok, bon, je suis lent, mais j'ai enfin compris que la réponse de Math Coss répond à toutes mes formulations possibles...
En fait, si $\K(\alpha)$ et $\K(\beta)$ isomorphes, la seule chose que je peux dire c'est qu'il existe un conjugué $\gamma$ de $\alpha$ dans $\K(\beta)$ et que $\K(\gamma)=\K(\beta)$ (et réciproquement : il existe un conjugué $\delta$ de $\beta$ dans $\K(\alpha)$...).
Merci à Math Coss et désolé de ma lenteur à la comprenette...
Je ne comprends pas bien la question mais voici un exemple dans la lignée des précédents : $\alpha=\sqrt[3]{2}$ et $\beta=\mathrm{j}\sqrt[3]{2}+1$, où $\mathrm{j}$ est une racine cubique primitive de l'unité ; les extensions $\Q(\alpha)/\Q$ et $\Q(\beta)/\Q$ sont isomorphes à $\Q[x]/(x^3-2)$ et s'intersectent en $\Q$ mais $\alpha$ et $\beta$ n'ont pas le même polynôme minimal donc ne peuvent être conjugués en aucun sens.
Si on exige que $\newcommand{\K}{\mathbf{K}}\K(\alpha)$ soit normale, c'est sauf erreur le corps de décomposition du polynôme minimal $P$ de $\alpha$ ; mais alors, un $\K$-isomorphisme de $\K(\alpha)$ sur $\K(\beta)$ envoie $\alpha$ sur une racine de $P$, qui appartient à $\K(\beta)$ : so much pour la condition sur l'intersection.
C'est mal tourné, j'aurais plutôt dû dire : $\K(\beta)$ contient un conjugué $\gamma$ de $\alpha$ et on a $\K(\gamma)=\K(\beta)$".
Pour reprendre ton exemple, avec $\K=\Q$, $\alpha =\sqrt[3]{2}$ et $\beta=j\sqrt[3]{2}+1$, je prends $\gamma=j\sqrt[3]{2}$. J'ai bien que $\Q(j\sqrt[3]{2})=\Q(j\sqrt[3]{2}+1)$ et $j\sqrt[3]{2}$ est conjugué à $\sqrt[3]{2}$.
Merci pour tes éclaircissements.