Classe de conjugaison des n-cycles dans An

Bonjour, je considère un $n$ tel que les $n$ cycles soient de signature positive.
Le résultat suivant est-il alors vrai ?

La classe de conjugaison dans $\mathfrak S_n$ des $n$-cycles se scinde en 2 dans $\mathfrak A_n$ ?

Pour le montrer il suffit de montrer que les éléments de $\mathfrak S_n$ stabilisant $(1\cdots n)$ sont les puissances de $(1\cdots n)$.
Or ces éléments qui commutent avec $(1\cdots n)$ sont le stabilisateur de $(1\cdots n)$ pour l’action de $\mathfrak S_n$ sur lui-même par conjugaison. L’orbite de $(1\cdots n)$ étant de cardinal $(n-1)!$, ce stabilisateur est de cardinal $n$ et est donc exactement formé des puissances de $\mathfrak S_n$.
Et on a montré ce qu’on voulait.
Ce résultat est-il correct ?
Merci par avance.