Sur la fonction Zeta d'un corps de nombres

J'ajouterais deux choses :

1. D'un point de vue pratique, il est difficile d'obtenir une factorisation effective de $\zeta_L$ lorsque le degré de $L$ est grand. On a toutefois des résultats pour des petits degrés. Par exemple, si $L_8 = \mathbb{Q} \left( \sqrt{-1}, \sqrt[4]{m} \right)$ où $m$ est sans facteur carré, alors on sait que, pour $\sigma > \frac{1}{2}$
$$\zeta_{L_8}(s) = \zeta(s) \times L_8 \left( s, \left( \tfrac{-1}{\cdot} \right) \right) \times L \left( s, \left( \tfrac{m}{\cdot} \right) \right) \times L \left( s, \left( \tfrac{-m}{\cdot} \right) \right) \times L \left( s, L_8/\mathbb{Q}, \psi \right)^2 \times U(s) $$
où $U(s)$ est une série de Dirichlet absolument convergente dans le demi-plan $\sigma > \frac{1}{2}$.

2. Rappelons à ce sujet la conjecture de Dedekind : le quotient $\zeta_L(s) / \zeta_K(s)$ est une fonction entière.

Un petit résumé de ce que j'avais compris :

Si $L/K$ est une extension galoisienne de degré $n$ alors (à un produit fini près sur les premiers ramifiés) $$\zeta_L(s) = \prod_{\mathfrak{p} \in K \text{ non ramifies dans } L} (1-N(\mathfrak{p})^{-s f(\mathfrak{p})})^{-n/f(\mathfrak{p})}= \prod_{\mathfrak{p} \in K \text{ non ramifies dans } L} \det(1-N(\mathfrak{p})^{-s} \rho(Frob_\mathfrak{p}))^{-1}$$ où $\rho : Gal(L/K) \to \mathbb{R}^{n \times n}$ est la représentation régulière

C'est pas difficile à montrer.

La représentation régulière se factorise en produit de représentations irréductibles, ce qui donne la décomposition en fonctions L d'Artin de $\zeta_L$.

Ensuite il faut regarder le cas $Gal(L/K)$ abélien ce qui donne que les représentations irréductibles sont des caractères $\chi : Gal(L/K) \to \mathbb{C}^\times$. Le propos de class field theory est alors de montrer que ces $\chi$ sont aussi des caractères de Hecke (donnés en gros par un caractères de $O_K/\mathfrak{a}^\times$ et un caractère du class group)

Dans le cas $Gal(L/K)$ non abélien les représentations irréductibles ne sont pas de dimension $1$ mais on sait se ramener à des représentations irréductibles de dimension $1$ de sous-groupes, ce qui donne $\zeta_L$ comme un quotient de fonctions $L$ de Hecke de sous-extensions.

Dans certains cas ($Gal(L/K$ dihédral) on sait montrer que ce quotient est un produit, ce qui est le point des conjectures d'Artin et de Dedekind, et dans le cas général ça devient le point du programme de Langland.

$\alpha$ est une racine d'un polynôme rationnel cubique irréductible de discriminant $d$. Son corps de décomposition c'est $K_6 = \mathbf{Q}(\alpha,\sqrt{d})$ de degré $6$ et de groupe de Galois diédral.

$K_2 = \mathbf{Q}(\sqrt{d}$ est le sous-corps quadratique.

$F$, la représentation de dimension $2$ de $Gal(K_6/\mathbb{Q})$ est l'induite d'une représentation abélienne de $Gal(K_6/K_2)$, par classfieldtheory c'est un caractère de Hecke $\psi$ de $K_2$ et une forme automorphe pour $GL_1(K_2)$.

La fonction theta associée $\sum_{I \in K_2} \psi(I)e^{2i \pi N(I)}$ est une forme modulaire donc une forme automorphe pour $GL_2(\mathbf{Q})$.

C'est cette dernière qui donne le prolongement analytique, l'équation fonctionnelle et la densité de zéros pour $L(s,F)$

Il y a aussi le comptage basique des idéaux de $K_6$ qui donne le prolongement analytique de $\zeta_{K_6}$ à $\Re(s) > 5/6$, avec celui de $\zeta_{K_2}$ ça donne l'équivalent du théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques, la région sans zéro et le PNT pour $L(s,F)$.

Forme parabolique ça veut dire ?

Est-ce que je suis censé inclure $GL_1(K_2)$ dans un sous-groupe commutatif de $GL_2(\mathbf{Q})$ et en faire une forme automorphe par convolution ?

@Reuns. Par "forme parabolique", j'entends bien sûr "forme automorphe parabolique".

"cusp form" est la déclinaison anglo-saxone de "forme automorphe parabolique" (ou aux pointes). Autrement dit, c'est une forme automorphe dont le développement en série de Fourier s'écrit $\displaystyle f(z) = \sum_{n=1}^\infty a(n) e(nz)$ avec $a(n) \in \mathbb{C}$.

De façon usuelle, on a tendance à employer l'abus "forme parabolique" pour signifier "forme automorphe parabolique".

Donc magma ne comprend pas qu'on veut une base de $M_{k}(\Gamma) = S_{k}(\Gamma) \oplus E_{k}(\Gamma)$ dont on connait la $q$-expansion en toutes les cusps.

Une fois qu'on a $G_{2k}(z) = \sum_{(c,d) \in \mathbb{Z}^2 \setminus (0,0)} \frac{1}{(cz+d)^{2k}}$ la série d'Eisenstein $\in M_{2k}(SL_2(\mathbb{Z}))$, on trouve les autres séries d'Eisenstein pour $\Gamma$ en regardant les $G_{2k}|_{2k} \alpha$ pour $\alpha \in SL_2(\mathbb{Q})$ tel que $\alpha^{-1} SL_2(\mathbb{Z}) \alpha \supseteq \Gamma$ ? (avec $\Gamma=\Gamma_0(N)$ ça doit marcher ?)

Pour $k=1$ c'est pareil sauf que les $G_2(z)$ sont des séries formelles qui ne convergent qu'une fois qu'on se restreint aux combinaisons linéaires $\sum_j c_j G_{2k}|_{2k} {\alpha_j},\sum_j c_j = 0$.

$G_{2k}|_{2k} \alpha(z) = C\, G_{2k} (uz+v)$ donc avec $\pi^2 \sum_{l \ge 1} e^{i \pi (2m-1) z}= \frac{\pi^2}{\sin(\pi z)^2} = \sum_m \frac{1}{(z+m)^2}$ on connait les $q$-expansions de toutes les $G_{2k}|_{2k} \alpha$ et on a une base de $E_2(\Gamma)$ dont on connait la $q$-expansion en toutes les cusps.

Et étant donné une Hecke eigenform, à chaque cusp il y a une suite avec laquelle il faut multiplier les coefficients de la $q$-expansion pour retrouver la multiplicativité (et les valeurs propres des opérateurs de Hecke) ?

J'ajoute une autre question : si on regarde les formes modulaires pour des groupes fuchsiens bizarres $G \le SL_2(\mathbb{R})$, ça donne quoi pour les opérateurs de Hecke, leur multiplicativité, et le changement de cusp ?

Intuitivement la multiplicativité des opérateurs de Hecke vient du fait que $SL_2(\mathbb{Z})$ est un groupe arithmétique.