Hyperplan matriciel

Bonjour,

J'ai du mal avec la question 2 de l'exercice suivant :

Soit $n\geqslant 2$ un entier fixé. On considère un hyperplan $\mathcal{H}$ de $\mathcal {M}_n(\C)$ stable par le produit matriciel.

1. Montrer qu'il existe une unique matrice $A\in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que, pour tout $M\in \mathcal{M}_n(\C)$,
$$
M\in \mathcal{H}\ \Leftrightarrow\ \mathrm{Tr}(AM)=0
$$
2. Montrer que, pour tout $M\in \mathcal{H},\ AM\in \mathrm{Vect}(A)$.
3. Montrer que $n=2$ et $\mathrm{rg}(A)=1$.
4. Montrer que $\mathcal{H}$ est isomorphe à l'espace des matrices triangulaires supérieures de $\mathcal{M}_2(\C)$.

Pour la question 1, il suffit d'introduire l'application $\varphi : \mathcal{M}_n(\C) \rightarrow \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\C),\, \C),\ A \mapsto \varphi_A$ où $\varphi_A : \mathcal{M}_n(\C) \rightarrow \C,\, M \mapsto \mathrm{Tr}(AM)$. On montre que $\varphi$ est linéaire injective puis bijective pour des raisons de dimension. Comme $\mathcal H$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle, on obtient la conclusion.

Pour la 2., je ne vois pas...

Merci d'avance pour votre aide, Michal