Hyperplan matriciel
Bonjour,
J'ai du mal avec la question 2 de l'exercice suivant :
Soit $n\geqslant 2$ un entier fixé. On considère un hyperplan $\mathcal{H}$ de $\mathcal {M}_n(\C)$ stable par le produit matriciel.
1. Montrer qu'il existe une unique matrice $A\in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que, pour tout $M\in \mathcal{M}_n(\C)$,
$$
M\in \mathcal{H}\ \Leftrightarrow\ \mathrm{Tr}(AM)=0
$$
2. Montrer que, pour tout $M\in \mathcal{H},\ AM\in \mathrm{Vect}(A)$.
3. Montrer que $n=2$ et $\mathrm{rg}(A)=1$.
4. Montrer que $\mathcal{H}$ est isomorphe à l'espace des matrices triangulaires supérieures de $\mathcal{M}_2(\C)$.
Pour la question 1, il suffit d'introduire l'application $\varphi : \mathcal{M}_n(\C) \rightarrow \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\C),\, \C),\ A \mapsto \varphi_A$ où $\varphi_A : \mathcal{M}_n(\C) \rightarrow \C,\, M \mapsto \mathrm{Tr}(AM)$. On montre que $\varphi$ est linéaire injective puis bijective pour des raisons de dimension. Comme $\mathcal H$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle, on obtient la conclusion.
Pour la 2., je ne vois pas...
Merci d'avance pour votre aide, Michal
J'ai du mal avec la question 2 de l'exercice suivant :
Soit $n\geqslant 2$ un entier fixé. On considère un hyperplan $\mathcal{H}$ de $\mathcal {M}_n(\C)$ stable par le produit matriciel.
1. Montrer qu'il existe une unique matrice $A\in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que, pour tout $M\in \mathcal{M}_n(\C)$,
$$
M\in \mathcal{H}\ \Leftrightarrow\ \mathrm{Tr}(AM)=0
$$
2. Montrer que, pour tout $M\in \mathcal{H},\ AM\in \mathrm{Vect}(A)$.
3. Montrer que $n=2$ et $\mathrm{rg}(A)=1$.
4. Montrer que $\mathcal{H}$ est isomorphe à l'espace des matrices triangulaires supérieures de $\mathcal{M}_2(\C)$.
Pour la question 1, il suffit d'introduire l'application $\varphi : \mathcal{M}_n(\C) \rightarrow \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\C),\, \C),\ A \mapsto \varphi_A$ où $\varphi_A : \mathcal{M}_n(\C) \rightarrow \C,\, M \mapsto \mathrm{Tr}(AM)$. On montre que $\varphi$ est linéaire injective puis bijective pour des raisons de dimension. Comme $\mathcal H$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle, on obtient la conclusion.
Pour la 2., je ne vois pas...
Merci d'avance pour votre aide, Michal
Réponses
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Pour la 2., tu peux essayer de remarquer que la forme linéaire $N\mapsto Tr(AMN)$ a un noyau intéressant
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Merci !
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Une remarque et une question :
- la matrice $A$ de la question 1 n'est pas unique...
- Dans la question 4 je me demande si on est censé trouver un isomorphisme qui conserve le produit ou non... -
Il serait plus précis de faire établir que $\mathcal{H}$ est conjugué à l'hyperplan des matrices triangulaires supérieures.
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Et c'est quoi l'idée pour montrer qu'ils sont conjugués ? Parce que $\mathcal H$ et $\mathcal{T}_2^+(\C)$ sont évidemment isomorphes car de même dimension... mais conjugués ???
-
Remarque par exemple que tous les éléments de $\mathcal{H}$ stabilisent $\mathrm{Ker} A$.
-
Merci !
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