bonjour,
je bloque.. tout ce que j'ai fait c'est que j'ai utilisé a^3-b^3 = ( a-b)(a^2 + ab + b^2) et j'ai factorisé par a-b afin d'avoir (a-b)(a^2+ab+b^2 + 1)=0
déjà a=b ==> a3=b3 est assez évident, non ?
Ensuite, pour le sens direct, (a-b)(a^2+ab+b^2 + 1)=0 prouve bien que a=b, non ? Regarde mieux ce produit nul et son deuxième facteur (par exemple polynôme de degré 2 en a).
Le deuxième facteur, c'est $a^2+ab+b^2 + 1$. Gérard te suggère de montrer qu'il ne peut pas s'annuler, par exemple en fixant $b$ et en résolvant l'équation du second degré $a^2+ab+b^2 + 1=0$ dont l'inconnue est $a$. Tu es libre de refuser de résoudre cette équation aussi bien sûr.
Sinon, on peut utiliser des outils d’analyse pour montrer que la fonction :
$\begin{array}{ccccc}
f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\
& & x & \mapsto & x^3+x \\
\end{array}$ est bijective.
(théorème de la bijection).
Mais bon, la question est-elle volontairement posée en algèbre?
Réponses
Conformément à la charte du forum, qu'as-tu fait ?
je bloque.. tout ce que j'ai fait c'est que j'ai utilisé a^3-b^3 = ( a-b)(a^2 + ab + b^2) et j'ai factorisé par a-b afin d'avoir (a-b)(a^2+ab+b^2 + 1)=0
déjà a=b ==> a3=b3 est assez évident, non ?
Ensuite, pour le sens direct, (a-b)(a^2+ab+b^2 + 1)=0 prouve bien que a=b, non ? Regarde mieux ce produit nul et son deuxième facteur (par exemple polynôme de degré 2 en a).
Cordialement.
Et pour le prouver, je te donne une idée. A toi de penser.
Sinon, on peut utiliser des outils d’analyse pour montrer que la fonction :
$\begin{array}{ccccc}
f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\
& & x & \mapsto & x^3+x \\
\end{array}$ est bijective.
(théorème de la bijection).
Mais bon, la question est-elle volontairement posée en algèbre?
Ça fait maintenant 2.5 approches, avec la bijection de amathoué
et la tienne, pas terminée.