Continuité d'une fonction

Dunyy
Dunyy
dans Analyse
Puis-je avoir une idee sur la réponse à cet exercice

Soit f une fct fonction continue sur un segment [a,b]
Montrer qu'il existe c € [a,b] tel que 2f(a) + 3f(b) = 5f(c).

Je pense qu'on doit utiliser le TVI

[Voilà déjà une bonne rédaction de la question. :-D AD]

Réponses

  • Amathoué
    Amathoué
    Bonsoir,

    Oui tout à fait.
    1) Considère $g: [a,b] \to \mathbb{R}, x\mapsto f(x)-(\frac{2}{5}f(a)+\frac{3}{5}f(b))$.
    Vérifie que $g$ est continue.
    2) Quel est le signe de $g(a)\cdot g(b)$?
    3) Que dire de l’équation $g(x)=0$ d’inconnue $x$?
    Bonne nuit.
  • Dunyy
    Dunyy
    MERCI pour votre réponse

    mais j'obtient g(a)=0
    et g(b)=0
    y'a t-il une erreur ????


    merciii
  • Math Coss
    Math Coss
    Oui, il y a une erreur, voici comment ça s'écrit : « Y a-t-il... » (pas d'apostrophe et deux tirets).

    Et il y a deux erreurs de calcul aussi. Pourquoi penses-tu que $f(a)-\bigl(\frac25f(a)+\frac35f(b)\bigr)=0$ en général ?
  • Romyna
    Romyna
    Amathoué a écrit:
    1) Considère $g: [a,b] \to \mathbb{R}, x\mapsto f(x)-(\frac{2}{5}f(a)+\frac{3}{5}f(b))$.
    Vérifie que $g$ est continue.
    2) Quel est le signe de $g(a)\cdot g(b)$?
    3) Que dire de l’équation $g(x)=0$ ...?

    Le théorème de Bolzano te dit que :
    si f est fonction continue sur [a;b],
    alors elle prend toutes les valeurs
    entre f(a) et f(b) au moins une fois.

    Si $g(a)\cdot g(b) < 0$ que conclure?
  • gerard0
    gerard0
    Romyna,

    Il connaît déjà le TVI, il l'a dit dès le début. Inutile de lui sortir un théorème qu'il ne connaît pas pour redémontrer le TVI.
  • Romyna
    Romyna
    Il y a "connaître" et "maîtriser".
    Si ce produit est nul, tu as fini.
  • gerard0
    gerard0
    ......................80758
  • Dunyy
    Dunyy
    c'était juste une faute de frappe pour le "Y'a t'il"
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    il n'est pas nécessaire d'évoquer ici Bolzano
    un simple raisonnement sur les moyennes suffit :

    $f(c) = \frac{2f(a) + 3f(b)}{5}$
    est une moyenne pondérée des images par f des abscisses a et b des points A et B

    f(c) est donc compris entre f(a) et f(b) et puisque f est fonction continue sur [a ; b],
    il existe au moins une valeur c de x comprise entre a et b telle que....

    cordialement
  • Amathoué
    Amathoué
    (tu)
    Il faudrait rédiger correctement dans ce cas :

    $\mu= \frac{2f(a) + 3f(b)}{5}$ est une moyenne pondérée des images par $f$ des abscisses $a$ et $b$ des points $A$ et $B$
    , $\mu$ est donc compris entre $f(a)$ et $f(b)$ et puisque $f$ est une fonction continue sur $[a ; b]$, il existe au moins une valeur $c$ de $x$ comprise entre $a$ et $b$ telle que $f(c)=\mu$.
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