Dualité

Jota · October 2018

Salut, je n'ai pas pu résoudre l'exercice suivant.

Montrer l'existence et l'unicité d'une forme linéaire $\phi$ sur $\mathbb{R}_{n}[X]$ telle que : $\phi(1)=0$, $\phi(X)=1$ et $\phi(P)=0$ pour tout polynôme $P\in \mathbb{R}_{n}[X]$ tel que $P(0)=P(1)=0$.

Merci d'avance.

Math Coss · October 2018

Quels sont les polynômes tels que $P(0)=P(1)=0$ ? Saurais-tu vérifier qu'ils forment un espace vectoriel ? en trouver une base ?

Jota · October 2018

Bon, je pense que pour prouver que c'est un espace vectoriel, il suffira de montrer que c'est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_{n}[X]$. Pour trouver la base, je ne sais pas vraiment.

Math Coss · October 2018

OK, il faudrait peut-être que tu le fasses.

Ensuite, dire que $P(1)=P(0)=0$, c'est dire que $0$ et $1$ sont des racines de $P$, n'est-ce pas ? Tu n'as pas un théorème qui commence par : « $a$ est une racine de $P$ si et seulement si... » ? Quand tu connais deux racines, comment tu peux écrire le polynôme, par conséquent ?

Jota · October 2018

Donc je peux écrire $P(X)=X(X-1)Q(X)$

Math Coss · October 2018

Oui, pour $Q$ polynôme convenable. Quel peut être le degré de $Q$ ? l'écriture de $Q$ ? une base de l'espace de ces polynômes alors ?

À partir d'une base de ce sous-espace, ce serait top si on obtenait une base de $\R_n[X]$ en ajoutant $1$ et $X$, non ?

Romyna · October 2018

Utilise aussi le fait que :
la famille $\{1, X, X^2, . . . , X^n\}$ constitue une base de $\R_n[X]$, en tant que sous-ev de $\mathbb{R}$, qui est donc de dimension $n + 1$.
et qu'en général : Si $\{P_0,P_1, . . . ,P_n\}$ constitue une famille de polynômes telle que pour tout indice $i, P_i$ est de degré exactement $i$, alors la famille $\{P_0,P_1, . . . ,P_n\}$ est une base de $R_n[X]$. Cette famille est dite « échelonnée en degré ».

[Tant qu'à écrire en $\LaTeX$, utilise les indices et les exposants ! AD]

Jota · October 2018

Je pense que $\deg(Q)=n-2$. Mais face à ce que tu as écrit, je doute un peu sur l’écriture de $Q(X)$ et une base appropriée de son espace vectoriel.

JLT · October 2018

N.B. Il n'y a pas besoin d'une base pour résoudre l'exercice, on peut simplement, pour tout $P\in\R_n[X]$, écrire la division Euclidienne de $P$ par $X(X-1)$.

Math Coss · October 2018

@JLT : Tu as raison mais je voulais éviter de décrire une application linéaire en mélangeant deux vecteurs et un sous-espace vectoriel et de faire intervenir la division euclidienne.

@Jota : Le degré de $Q$ est au plus $n-2$ et n'importe quel polynôme de degré $\le n-2$ convient. Cela suggère d'écrire $Q$ comme somme de monômes, etc.

Dualité

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 19