Déterminant

On a des formes $p$-lineaires alternées, elles sont interessantes !
Seulement, elles ne donnent pas lieu à un déterminant pour la raison suivante : si je note $Alt^p(E)$ l'espace vectoriel des formes $p$-linéaires alternées sur $E$, alors sa dimension est $\binom{n}{p}$ si $E$ est de dimension $n$.

Pour $p=n$, cela veut dire qu'il est de dimension $1$. Pour $f: E\to E$ on peut alors définir $f^* : Alt^p(E)\to Alt^p(E)$ par $f^*(l)(x_1,...,x_p) = l(f(x_1),...,f(x_p))$. Cette application est clairement linéaire.

Pour un $p$ général elle peut être compliquèe mais pour $p=n$, comme la dimension vaut $1$, cette application $f^*$ est nécessairement une homothétie : on appelle $\det (f)$ le facteur de cette homothétie, c'est tout.

Si tu veux voir le déterminant non pas comme quelque chose qu'on définit sur des fonctions mais sur des familles, alors déjà il te faut fixer une base $B$ de $E$ parce que sinon il y a plusieurs formes $n$-linéaires alternées $E^n\to K$ qui méritent de s'appeler déterminant.
Il y en a aussi beaucoup $E^p\to K$ mais comme la dimension est plus grande, laquelle mérite le nom de déterminant ?

D'un certain point de vue, toute forme $p$ linéaire alternée est une combinaison linéaire de déterminants. Soit $E=K^n$. La donnée de $p$ vecteurs de $E$ est la donnée d'une matrice $n\times p$. Les $\binom{n}{p}$ mineurs de taille $p$ extraits de cette matrice forment une base de l'espace des $p$-formes linéaires alternées sur $E$.