Forme quadratique

alibabadu59 · October 2018

Bonjour,

Je me posais une question.

Si deux matrices B et D représentent les matrices d'une même forme quadratique dans deux bases différentes (D diagonale dans une base orthonormée) , alors si B est symétrique positive, est ce que forcément tous les coefficients diagonaux de D sont tous positifs ou nuls ?

Si oui, pourquoi ? Est-ce le théorème d'inertie de Sylvester qui assure ceci?

Merci de m'éclaircir.

GaBuZoMeu · October 2018

Oui et oui. La signature est un invariant pour la congruence des matrices symétriques réelles (deux matrices carrées $A$ et $B$ sont dites congruentes quand il existe une matrice inversible $P$ telle que $B=P^{\mathsf T}AP$).

oblomov · October 2018

En fait, ce que tu dis est vrai non pas à cause du théorème de Sylvester, mais juste par définition de la propriété de "positivité".

Une forme quadratique réelle $q$ est positive si pour tout $x$, on a $q(x)\geq 0$.

Les coefficients diagonaux de $q$ dans une base $\underline e :=(e_1,\dots,e_n)$ sont par définition les $q(e_i)$. En particulier, dans toute base, la matrice de $q$ a des coefficients positifs sur la diagonale.

alibabadu59 · October 2018

ah oui en effet , merci beaucoup!! c'est plus clair pour moi.

Forme quadratique

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