Forme quadratique
dans Algèbre
Bonjour,
Je me posais une question.
Si deux matrices B et D représentent les matrices d'une même forme quadratique dans deux bases différentes (D diagonale dans une base orthonormée) , alors si B est symétrique positive, est ce que forcément tous les coefficients diagonaux de D sont tous positifs ou nuls ?
Si oui, pourquoi ? Est-ce le théorème d'inertie de Sylvester qui assure ceci?
Merci de m'éclaircir.
Je me posais une question.
Si deux matrices B et D représentent les matrices d'une même forme quadratique dans deux bases différentes (D diagonale dans une base orthonormée) , alors si B est symétrique positive, est ce que forcément tous les coefficients diagonaux de D sont tous positifs ou nuls ?
Si oui, pourquoi ? Est-ce le théorème d'inertie de Sylvester qui assure ceci?
Merci de m'éclaircir.
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Réponses
Une forme quadratique réelle $q$ est positive si pour tout $x$, on a $q(x)\geq 0$.
Les coefficients diagonaux de $q$ dans une base $\underline e :=(e_1,\dots,e_n)$ sont par définition les $q(e_i)$. En particulier, dans toute base, la matrice de $q$ a des coefficients positifs sur la diagonale.