Sous-espaces propres
Salut, je n'ai pas pu résoudre l'exercice suivant.
Soit $P\in \mathbb{K}[X]$, $u\in L(E)$.
1) Montrer que si $\lambda \in \mathrm{Spec}(u)$, alors $P(\lambda )\in \mathrm{Spec}(P(u))$.
2) On suppose $\dim(E)=n$, fini. Comparer $\chi _{u}(x)$ et $\chi _{P(u)}(x)$.
3) Soit $\begin{array}[t]{cccl}
\delta :& C^{\infty }(\mathbb{R} )&\longrightarrow& C^{\infty }(\mathbb{R} )\\
& f& \longmapsto& \delta f:=f'
\end{array}$
Calculer $\mathrm{Spec}(\delta )$ et les sous-espaces propres.
Merci d'avance.
Soit $P\in \mathbb{K}[X]$, $u\in L(E)$.
1) Montrer que si $\lambda \in \mathrm{Spec}(u)$, alors $P(\lambda )\in \mathrm{Spec}(P(u))$.
2) On suppose $\dim(E)=n$, fini. Comparer $\chi _{u}(x)$ et $\chi _{P(u)}(x)$.
3) Soit $\begin{array}[t]{cccl}
\delta :& C^{\infty }(\mathbb{R} )&\longrightarrow& C^{\infty }(\mathbb{R} )\\
& f& \longmapsto& \delta f:=f'
\end{array}$
Calculer $\mathrm{Spec}(\delta )$ et les sous-espaces propres.
Merci d'avance.
Réponses
-
Qu'as-tu fait ? Où bloques-tu ?
Pour la question 1, peux-tu rappeler ce qu'est un élément $\lambda$ de $\mathrm{Spec}(u)$ ? -
Tu as tout de même dû faire quelque chose sur cet exercice. Qu'as-tu essayé ?
-
Salut Math Coss, un élément $\lambda $ de $Spec(u)$ est tel que $u(x)=\lambda x$ .
-
Salut GaBuZoMeu, voici ce que j'ai essayé pour la question 1:
On sait que $\lambda $ $\in$ $Spec(u)$ alors $u(x)=\lambda x$
Soit $\alpha \in Spec(P(u))$ alors $P(u)(x)=\alpha x$
Ainsi,
$(\sum_{i}{a_{i}u^{i}})(x)=\alpha x$
$\Rightarrow $ $\sum_{i}{a_{i}u^{i}(x)}=\alpha x$
$\Rightarrow $ $\sum_{i}{a_{i}(u(x))^{i}}=\alpha x$
$\Rightarrow $ $\sum_{i}{a_{i}(\lambda x)^{i}}=\alpha x$ car $\lambda $ $\in$ $Spec(u)$
$\Rightarrow $ $\sum_{i}{a_{i}\lambda^{i}x^{i}}=\alpha x$
Je me suis arrêté a ce niveau. -
Bonjour,
@Jota : avec des notations et des quantificateurs, on a :
Si $\lambda \in Spec(u)$, alors il existe $x \in E$ non nul tel que $u(x)=\lambda x.$
On demande de montrer que $P(\lambda) \in Spec(P(u))$ avec $P$ un polynôme.
N'as-tu pas envie de calculer $P(u)(x)$ ?
Ou encore que vaut $u(x), u^2(x), u^3(x)$ ? -
OK, mon raisonnement est-il correct!??
-
Non, $(u(x))^i$ n'a pas de sens, et $x^i$ non plus car $u(x)$ et $x$ sont des vecteurs. Tu devrais calculer $u^2(x)$, puis $u^3(x)$ à la main pour voir comment conclure dans le cas général, et sans inventer des règles de calcul fausses.
-
Ok, merci beaucoup!! Le résultat sort sans problème.
-
Au niveau de la question 2, je n'ai pas encore trouvé de solution.
-
N'y aurait-il pas un lien entre les racines du polynôme caractéristique et les valeurs propres (et donc avec la question 1) ?
-
Oui, $Spec(u)=\left\{ \lambda \in \mathbb{K} : \chi _{u}(\lambda)=0\right\} $
-
Ok. Applique la même chose à $P(u)$ et conclus pour la question 2.
-
Désolé mais je ne vois vraiment pas ce qu'il y'a lieu de faire.
-
Il y aurait lieu de poster ici une solution complète, même si elle sort sans problème.
En passant, le choix de $x$ pour un vecteur de $E$ n'était pas optimal dans la mesure où dans la question 2, $x$ a tout l'air d'être une indéterminée.
Sans plus de précision du niveau où tu es, je ne sais pas bien ce qui est attendu pour la question 2 non plus. Peut-être que tu utilises une base dans laquelle la matrice est triangulaire, pour autant que tu puisses en justifier l'existence dans une extension convenable ?
La question 3 est plus facile : pour quelles valeurs de $\lambda$ peux-tu trouver une fonction non nulle indéfiniment dérivable $f$ telle que $\delta(f)=\lambda f$ ? (La réponse « je ne sais pas » n'est pas acceptée. Sauf si tu n'es pas encore passé en terminale bien sûr...) -
Merci beaucoup. Je n'ai pas problème avec la question 3. C'est avec la question 2 que j'ai du mal à trouver un raisonnement qui tient la route.
-
On note que les valeurs propres de $P(u)$ sont les racines de son polynôme caractéristique (éventuellement dans la clôture algébrique du corps $\mathbb K$).
La question 1 nous montre que si $\displaystyle \chi_u(x)= (-1)^n\prod_{i=1}^n (x-\lambda_i)$, les valeurs propres étant répétées suivant leur multiplicité, alors $\displaystyle (-1)^n\prod_{i=1}^n (x-P(\lambda_i))$ divise $\chi_{P(u)}(x)$. Vu qu'on est en dimension $n$, ce polynôme est en fait de degré $n$ et de coefficient dominant $(-1)^n$ (propriétés classiques du polynôme caractéristique) donc $\displaystyle \chi_{P(u)}(x) =
(-1)^n\prod_{i=1}^n (x-P(\lambda_i))$.
Bon, en rédigeant, je vois que c'est un peu moins simple que ce que je pensais mais on finit par retomber sur ses pieds.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 23
+14 Invités