Continuité sur R

On a des fonctions usuelles (classiques) qui sont par exemples : les fonctions polynômes, la fonction exponentielle, et bien d'autres qui sont, d'après le cours continues sur $R$.
On sait aussi que la somme, la différence et le produit de fonctions continues sont continues (théorème du cours).

Ensuite, dans le cas que tu étudies, on recolle des fonctions en $0$, et en $1$.

Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels $0$ et $1$ (c'est à dire en tout réel distinct de $0$ et de $1$) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles").
Ensuite, il suffit de savoir si en $0$, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en $0$, à droite (si elle existe).


Remarque : attention le terme "usuel" n'est pas très bien défini, c'est juste par fainéantise qu'on l'utilise.

Effectivement, une fonction peut être continue, mais pas dérivable (nulle part !!). Et si on t'a appris au lycée qu'il suffit de voir qu'elle est continue pour affirmer qu'elle est dérivable, c'est grave, puisque c'est faux.
Par contre, la plupart des fonctions élémentaires (celles vues au lycée) sont toujours dérivables, la seule exception étant la fonction racine carrée (pas dérivable en 0); associé aux propriétés des opérations sur les fonctions, ça suffit largement pour presque tous les cas.

Cordialement.