Exercice d'optimisation

Bonjour, je bloque sur cet exercice au niveau de la 3ème question.
Voici les résultats que j'ai obtenu jusqu'à présent.

1) supposons que $d$ est une direction admissible en $x$
\begin{align*}
d \in D_x(\chi) &\iff \exists \eta>0,\ \forall \theta \in\, ]0,\eta ],\ x+\theta d \in \chi \\
&\iff A(x + \theta d) = b \\
&\iff Ax + A \theta d = b \\
&\iff b + A \theta d = b \\
&\iff Ad = 0_{R^m} \\
&\iff d \in \ker(A) \\
&\iff D_x(\chi) = \ker(A)
\end{align*}
2) Les contraintes étant des inégalités linéaires, l'ensemble $\chi$ est convexe

$\overline{x}$ étant une solution, il respecte la condition nécessaire $ \nabla f(\overline{x}) = 0_{R^n}$.

De plus, si $d$ est une direction admissible en $\overline{x}$, alors $$
Ad = 0_{R^m}
\Rightarrow A^T A d = 0_{R^n}.

$$ En posant $\lambda = Ad$ on a $A^T \lambda = 0_{R^n} $
finalement , $ \nabla f(\overline{x}) + A^T \lambda = 0_{R^n}$

3) ???
Théorème du rang ?
Avez-vous une idée ? Merci.