Morphisme par générateurs et relations

Bonjour Liedeberg
C'est presque cela !
Reprenons. Définir un groupe $G$ par générateurs ($a,b,c$) et relations $\{R_i(a,b,c)\mid i\in I\}$, c'est considérer le groupe libre $F_3$ engendré par $a,b,c$, pour obtenir $G$ comme quotient de $F_3$ par le sous-groupe distingué de $F_3$ engendré par les relations $R_i(a,b,c)$, noté $\langle R_i(a,b,c), \ i\in I\rangle$ : $$G= F_3/\langle R_i(a,b,c), \ i\in I\rangle.

$$Alors, pour tout groupe $H$ et tous $x,y,z\in H$, par propriété universelle des groupes libres (voir ton cours) il existe un unique morphisme $f: F_3\to H$ tel que $f(a)=x,\ f(b)=y,\ f(c)=z$.
Maintenant comme tu veux un morphisme $G\to H$, il faut pouvoir passer au quotient : $$
\xymatrix { F_3 \ar[d]_{\pi} \ar[dr]^{f} \\ G=F_3/\langle R_i\rangle \ar[r]_-{\bar f} & H
}
$$ ce qui n'est possible que si, et seulement si $\ker \pi\subset \ker f$, c-à-d $f(\ker \pi)=\{1_H\}$.
Or, $\ker \pi = \langle R_i(a,b,c), \ i\in I\rangle$, il faut donc que $f(R_i)=1_H$, pour tout $i\in I$, et comme $f: F_3\to H$ est un morphisme $f\big(R_i(a,b,c)\big)=R_i\big(f(a),f(b),f(c)\big)=R_i(x,y,z)=1_H$.
La bonne formulation est donc que les images des générateurs de $G$ satisfassent les relations $R_i, \ i\in I$.
Dans le cas présent, que $x,y,z$ satisfassent les mêmes relations que $a,b,c$ (et pas le contraire).
Alain