Problème de complexes

crowsen · October 2018

Trouvez tous les nombres complexes z tels que z au carré est une racine carrée de z

Comment résoudre ce problème sans tomber dans des systèmes d'équation incalculable ?

Merci d'avance

Maxtimax · October 2018

$z^2$ racine de $z$ si et seulement si $(z^2)^2 =z$ si et seulement si...

Dom · October 2018

On cherche les $z$ complexes tels qu'il existe $r$ complexe tel que : $z^2=r$ et $r^2=z$.

Donc...

YvesM · October 2018

Bonjour,

Écris l’équation en $z$ et essaie de résoudre.

crowsen · October 2018

j'ai : a + bi = a^4 + 4* a^3 bi + 6 a^2 *-b + 4 ab^3 *-i + b ^4

je fais comment pour résoudre ça ?

nicolas.patrois · October 2018

Relis Maxtimax.

gerard0 · October 2018

Avant de passer en écriture a+bi, tu peux commencer par traiter l'équation avec z, elle est facile ...

Cordialement.

crowsen · October 2018

si et seulement si z^3 = 1

nicolas.patrois · October 2018

Ben quoi, z=0 ne te convient pas ?

crowsen · October 2018

Donc les deux réponses sont :
z = 0 -> a=0 et b=0
z=1 -> a=1 et b =0 ?

gerard0 · October 2018

Ton équation est $z^4=z$
donc (technique vue en fin de collège et début de lycée) :
$z^4- z = 0$
$z(z^3-1) = 0$
donc soit $z=0$ (0 est bien un nombre complexe, pas la peine de l'écrire autrement)
soit $z^3-1=0$
et on continue à utiliser la technique qui a bien réussi : factoriser.

A toi de continuer correctement ...

crowsen · October 2018

ce qui donne a^3 + 3a^2bi - 3ab - bi = 1
qui n'a aucune solution dans les complexes

gerard0 · October 2018

Toujours tes a et tes b qui ne servent à rien ! Tu y tiens !!

Factorise $z^3-1$
Si tu préfères, factorise $x^3-1$ (*). C'est un exercice classique de première S, tu as une racine évidente.

(*) le nom de la variable n'a pas d'importance; on utilise z seulement pour bien se souvenir qu'on travaille avec des complexes.

crowsen · October 2018

Oui du coup la racine évidente c'est z = 1 ce qui n'est pas un complexe

Math Coss · October 2018

Bien sûr que si, $1$ est un complexe ! On ne t'a jamais dit que $\R\subset\C$ ? que $\C$ était un sur-corps de $\R$, un corps qui contient $\R$ et une racine carrée de $-1$ (et même deux) ?

crowsen · October 2018

Merci ! Du coup z^3 - 1=0 a 3 racines :
1
Et deux autres racines complexes que je peux trouver en remplaçant z par a + bi ?

gerard0 · October 2018

Arrête avec tes a+bi !!

Maxtimax · October 2018

Principe qui n'est pas toujours vrai mais qui est quand même vrai sacrément souvent : il ne faut utiliser l'écriture $z=a+ib$ qu'en dernier recours, quand toutes les manipulations algébriques que tu peux faire avec uniquement $z$ ont été faites, et ne mèneraient plus à rien.

Dans notre cas, tu es arrivé à $z=0$ ou $z^3 = 1$. A gauche, rien à dire. $z^3-1=0$, comme on te l'a répété, a $1$ pour solutions. Si tu factorises de la bonne manière en utilisant cette solution, tu seras ramené à $z=0$ ou $z=1$ ou $P(z) = 0$ ou $P$ est un polynôme de degré $2$, ce qui signifie que tu dois être capable de résoudre l'équation $P(z) =0$ dans les complexes.