Transvections engendrant SLn(K)
Réponses
-
Bonjour Floquet
Ce n'est plus de la géométrie mais de l'algèbre.
ll serait judicieux de poser aussi ta question sur le forum d'algèbre!
Ce faisant, je m'aperçois que personne en deux ans n'a répondu à ma dernière question mais c'est plus que normal, c'était une question de géométrie!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Une question très importante : parlez-vous de matrice de transvection
($I_n+\lambda E_{i,j}$ où $i \neq j$) ou de matrice représentant une transvection vectorielle ?
En tout cas, je n'ai pas de référence. En revanche, dans le deuxième cas
j'arrive assez bien à imaginer quel peut être le résultat. Typiquement, il devrait y avoir deux situations :
(1) Si $A \in \mathrm{SL}_n(\K)$ est diagonalisable avec exactement deux valeurs propres $\alpha$ et $1$, alors $\mathrm{rg} (A-I_n)+1$ transvections suffisent à décomposer $A$ mais on ne peut faire moins.
(2) Dans tout autre cas $\mathrm{rg}(A-I_n)$ transvections devraient suffire, et on ne peut faire moins.
Et je pense que les deux observations suivantes devraient être utiles :
(a) tout bloc de Jordan de taille n pour la valeur propre 1 est produit d'exactement $n-1$ transvections.
(b) étant donné deux matrices compagnons $A$ et $B$ de même format et de même déterminant, l'une est le produit de l'autre par une matrice représentant une transvection. -
L'exercice 7 du Chapitre IV (p. 110-111) du cours d'algèbre de Daniel Perrin répond à la question.
-
Parfait, un grand merci à vous 2 !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres