Équivalence pgcd ppcm

Bonjour, je reviens sur ma dernière "conjecture" et j’aimerais si possible que quelqu’un me confirme qu’elle est vraie et optimale dans le sens où quand il y a simple implication de la gauche vers la droite on peut trouver un contre-exemple où l’implication droite vers gauche est fausse.
Je n’arrive pas à trouver sur internet de papier répondant à ma question, mais seulement des réponses partielles dans un pdf de Daniel Perrin et dans le livre d’algèbre commutative de Goblot.

Je réécris ma proposition.
$A$ un anneau intègre, $a$ et $b$ deux éléments de $A$. Un pgcd de $a$ et $b$ est une borne inférieure aux inversibles près de ${a,b}$ dans $A$ pour la relation de divisibilité, un ppcm est une borne sup du même ensemble. Un pgcd fort de $a$ et $b$ est un élément $d$ de $A$ tel que $(a)+(b)=(d)$, un ppcm fort de $a$ et $b$ est un élément $m$ de $A$ tel que $(a)\cap (b)=(m)$.
Alors $a$ et $b$ ont un pgcd fort => $a$ et $b$ ont un ppcm fort <=> $a$ et $b$ ont un ppcm (le même que le ppcm fort) => $a$ et $b$ ont un pgcd

Merci par avance à celui ou celle qui me répondra.