Le sous-groupe de Klein de $\mathfrak S_4$

Bonjour,

il est bien connu que $\mathfrak S_4$ ne possède qu'un seul sous-groupe distingué non trivial autre que $\mathfrak A_4$, à savoir

$H=\{ Id, (1\ 2)(3 \ 4), ( 1 \ 3)(2 \ 4), ( 1 \ 4)(2 \ 3)\}$.

Le fait que cela soit un sous-groupe est a priori un calcul pénible (ou alors il y a une astuce simplificatrice que je n'ai pas vue).

Je voulais savoir s'il y avait une manière élégante de montrer que $H$ est un sous-groupe (distingué) de $\mathfrak S_4$, par exemple en l'exhibant comme noyau d'un morphisme de $\mathfrak S_4$ dans un groupe à $6$ éléments (probablement $\mathfrak S_3$).

Plusieurs idées me viennent :

- faire agir $\mathfrak S_4$ sur l'ensemble de ses $3$-Sylow

- faire agir $\mathfrak S_4$ sur l'ensemble des parties de $\{1,2,3,4\}$ à $3$ éléments (non, c'est n'imp !)

Malheureusement, ni la surjectivité du morphisme $\mathfrak S_4\to \mathfrak S_3$ obtenu, ni le calcul du noyau ne semble vraiment immédiats (je n'ai pas fait les calculs).
Si vous avez des idées...

Tant qu'à faire, si vous avez une méthode élégante pour montrer que c'est le seul sous-groupe distingué non trivial autre que $\mathfrak A_4$, je prends aussi.

Amitiés,
Mel.